Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\sin\left(\ln\left(x\right)\right)x^{3}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\sin\left(\log\left(x\right)\right)\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = x^{3}$
- $v = \sin\left(\log\left(x\right)\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\sin\left(\log\left(x\right)\right)\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}\sin\left(\log\left(x\right)\right) + x^{3}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(\log\left(x\right)\right)\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 3$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}\,}}}\sin\left(\log\left(x\right)\right) + x^{3}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(\log\left(x\right)\right)\right)}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3x^{3 - 1}\,}}}\sin\left(\log\left(x\right)\right) + x^{3}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(\log\left(x\right)\right)\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3x^{2}\sin\left(\log\left(x\right)\right)\,}}} + x^{3}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(\log\left(x\right)\right)\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung des Sinus (Kettenregel)
Regel
$$\frac{d}{dx}(\sin(u)) = \cos(u) \cdot u'$$
Mit:
- $u = \log\left(x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$3x^{2}\sin\left(\log\left(x\right)\right) + x^{3}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(\log\left(x\right)\right)\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung des Sinus (Kettenregel)
$$3x^{2}\sin\left(\log\left(x\right)\right) + x^{3} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(\log\left(x\right)\right)\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Schritt 4 — Kettenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}f(u)=f'(u)\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$3x^{2}\sin\left(\log\left(x\right)\right) + x^{3} \cdot \cos\left(\log\left(x\right)\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Kettenregel
$$3x^{2}\sin\left(\log\left(x\right)\right) + x^{3} \cdot \cos\left(\log\left(x\right)\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}$$
Ergebnis
$$3x^{2}\sin\left(\log\left(x\right)\right) + x^{3} \cdot \cos\left(\log\left(x\right)\right) \cdot \frac{1}{x}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$3x^{2}\sin\left(\log\left(x\right)\right) + x^{2}\cos\left(\log\left(x\right)\right)$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)