Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{\sin\left(x\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\sin\left(x\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Quotientenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
  • $u = \sin\left(x\right)$
  • $v = \left(x + 1\right)^{2}$

Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\sin\left(x\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,\left(x + 1\right)^{2} - \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x + 1\right)^{2}\right]}}{\left(\left(x + 1\right)^{2}\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenz einer Potenz Vereinfachung
📖 Regel
$$\left(a^m\right)^n=a^{m\cdot n}$$

Warum dieser Schritt? Wird eine Potenz noch einmal potenziert, werden die Exponenten multipliziert.

Nur der geänderte Teil: $\left(\left(x + 1\right)^{2}\right)^{2} \;\Longrightarrow\; \left(x + 1\right)^{2 \cdot 2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,\left(x + 1\right)^{2} - \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x + 1\right)^{2}\right]}}{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\left(x + 1\right)^{2}\right)^{2}\,}}}}$$
✨ Nach Potenz einer Potenz
$$\frac{\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,\left(x + 1\right)^{2} - \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x + 1\right)^{2}\right]}}{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x + 1\right)^{2 \cdot 2}\,}}}}$$
Schritt 3 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 \cdot 2 \;\Longrightarrow\; 4$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,\left(x + 1\right)^{2} - \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x + 1\right)^{2}\right]}}{\left(x + 1\right)^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot 2\,}}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,\left(x + 1\right)^{2} - \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x + 1\right)^{2}\right]}}{\left(x + 1\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}}}}$$
Schritt 4 — Ableitung des Sinus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sin\left(x\right)=\cos\left(x\right)$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \cos\left(x\right)$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}\,\left(x + 1\right)^{2} - \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x + 1\right)^{2}\right]}}{\left(x + 1\right)^{4}}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}\,\left(x + 1\right)^{2} - \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x + 1\right)^{2}\right]}}{\left(x + 1\right)^{4}}$$
Schritt 5 — Potenzregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}\,u'$$
Mit:
  • $u = x + 1$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Zuerst leiten wir die äußere Potenz ab: Exponent nach vorne, Exponent minus 1. Mit der Kettenregel kommt die Ableitung des gesamten inneren Ausdrucks als weiterer Faktor hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\left(x + 1\right)^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,\left(x + 1\right)^{2 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\cos\left(x\right)\,\left(x + 1\right)^{2} - \sin\left(x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(x + 1\right)^{2}\right]}\,}}}}{\left(x + 1\right)^{4}}$$
✨ Nach Potenzregel
$$\frac{\cos\left(x\right)\,\left(x + 1\right)^{2} - \sin\left(x\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\left(x + 1\right)^{2 - 1}\,\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]}\,}}}}{\left(x + 1\right)^{4}}$$
Schritt 6 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\cos\left(x\right)\,\left(x + 1\right)^{2} - \sin\left(x\right) \cdot 2\,\left(x + 1\right)^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]}}{\left(x + 1\right)^{4}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{\cos\left(x\right)\,\left(x + 1\right)^{2} - \sin\left(x\right) \cdot 2\,\left(x + 1\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]}}{\left(x + 1\right)^{4}}$$
Schritt 7 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $\left(x + 1\right)^{1} \;\Longrightarrow\; x + 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\cos\left(x\right)\,\left(x + 1\right)^{2} - \sin\left(x\right) \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x + 1\right)^{1}\,}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]}}{\left(x + 1\right)^{4}}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\frac{\cos\left(x\right)\,\left(x + 1\right)^{2} - \sin\left(x\right) \cdot 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(x + 1\right)\,}}}\,\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]}}{\left(x + 1\right)^{4}}$$
Schritt 8 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = x$
  • $v = 1$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\cos\left(x\right)\,\left(x + 1\right)^{2} - \sin\left(x\right) \cdot 2\,\left(x + 1\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x + 1\right]}\,}}}}{\left(x + 1\right)^{4}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{\cos\left(x\right)\,\left(x + 1\right)^{2} - \sin\left(x\right) \cdot 2\,\left(x + 1\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,}}}}{\left(x + 1\right)^{4}}$$
Schritt 9 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\cos\left(x\right)\,\left(x + 1\right)^{2} - \sin\left(x\right) \cdot 2\,\left(x + 1\right)\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(x + 1\right)^{4}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\cos\left(x\right)\,\left(x + 1\right)^{2} - \sin\left(x\right) \cdot 2\,\left(x + 1\right)\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(x + 1\right)^{4}}$$
Schritt 10 — Konstantenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 1$

Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\cos\left(x\right)\,\left(x + 1\right)^{2} - \sin\left(x\right) \cdot 2\,\left(x + 1\right)\,\left(1 + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)}{\left(x + 1\right)^{4}}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{\cos\left(x\right)\,\left(x + 1\right)^{2} - \sin\left(x\right) \cdot 2\,\left(x + 1\right)\,\left(1 + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)}{\left(x + 1\right)^{4}}$$
Schritt 11 — Null als Summand entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.

Nur der geänderte Teil: $1 + 0 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\cos\left(x\right)\,\left(x + 1\right)^{2} - \sin\left(x\right) \cdot 2\,\left(x + 1\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(1 + 0\right)\,}}}}{\left(x + 1\right)^{4}}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$\frac{\cos\left(x\right)\,\left(x + 1\right)^{2} - \sin\left(x\right) \cdot 2\,\left(x + 1\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{\left(x + 1\right)^{4}}$$
Schritt 12 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $2\,\left(x + 1\right) \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 2\,\left(x + 1\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\cos\left(x\right)\,\left(x + 1\right)^{2} - \sin\left(x\right) \cdot \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\left(x + 1\right) \cdot 1\,}}}}{\left(x + 1\right)^{4}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{\cos\left(x\right)\,\left(x + 1\right)^{2} - \sin\left(x\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\left(x + 1\right)\,}}}}{\left(x + 1\right)^{4}}$$
Schritt 13 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $\sin\left(x\right) \cdot 2\,\left(x + 1\right) \;\Longrightarrow\; 2\,\sin\left(x\right)\,\left(x + 1\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\cos\left(x\right)\,\left(x + 1\right)^{2} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin\left(x\right) \cdot 2\,\left(x + 1\right)\,}}}}{\left(x + 1\right)^{4}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\frac{\cos\left(x\right)\,\left(x + 1\right)^{2} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\sin\left(x\right)\,\left(x + 1\right)\,}}}}{\left(x + 1\right)^{4}}$$
Schritt 14 — Gemeinsamen Faktor ausklammern Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u+b\cdot u=u\cdot(a+b)$$

Warum dieser Schritt? Jeder Summand im Zähler enthält denselben Faktor, der auch im Nenner steht. Wir klammern ihn aus, damit wir ihn im nächsten Schritt kürzen können.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\cos\left(x\right)\,\left(x + 1\right)^{2} - 2\,\sin\left(x\right)\,\left(x + 1\right)}{\left(x + 1\right)^{4}}\,}}}$$
✨ Nach Gemeinsamen Faktor ausklammern
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\left(x + 1\right)\,\left(\cos\left(x\right)\,\left(x + 1\right) - 2\,\sin\left(x\right)\right)}{\left(x + 1\right)^{4}}\,}}}$$
Schritt 15 — Gemeinsamen Faktor kürzen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

Warum dieser Schritt? Derselbe Faktor steht im Zähler und im Nenner. Beim Kürzen werden die Exponenten subtrahiert. Stellen, an denen dieser Faktor 0 ist, bleiben wegen der ursprünglichen Bedingungen ausgeschlossen.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\left(x + 1\right)\,\left(\cos\left(x\right)\,\left(x + 1\right) - 2\,\sin\left(x\right)\right)}{\left(x + 1\right)^{4}}\,}}}$$
✨ Nach Gemeinsamen Faktor kürzen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\cos\left(x\right)\,\left(x + 1\right) - 2\,\sin\left(x\right)}{\left(x + 1\right)^{4 - 1}}\,}}}$$
Schritt 16 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $4 - 1 \;\Longrightarrow\; 3$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\cos\left(x\right)\,\left(x + 1\right) - 2\,\sin\left(x\right)}{\left(x + 1\right)^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4 - 1\,}}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{\cos\left(x\right)\,\left(x + 1\right) - 2\,\sin\left(x\right)}{\left(x + 1\right)^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,}}}}}$$
Endergebnis
$$\frac{\cos\left(x\right)\,\left(x + 1\right) - 2\,\sin\left(x\right)}{\left(x + 1\right)^{3}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $\left(x + 1\right)^{2}\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{\cos\left(x\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2\,\sin\left(x\right)}{\left(x + 1\right)^{3}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt