Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\right]}$$
Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.
Schritt 1 — Quotientenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \sin\left(x\right)$
- $v = \cos\left(x\right)$
Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}}{\cos\left(x\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Sinus
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sin\left(x\right)=\cos\left(x\right)$$
Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \cos\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}\,\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}\,\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot a=a^2$$
Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck mal sich selbst ist das Quadrat dieses Ausdrucks.
Nur der geänderte Teil:
$\cos\left(x\right)\,\cos\left(x\right) \;\Longrightarrow\; \cos\left(x\right)^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,\cos\left(x\right)\,}}} - \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)^{2}\,}}} - \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Ableitung des Kosinus
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\cos\left(x\right)=-\sin\left(x\right)$$
Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; -\sin\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\cos\left(x\right)^{2} - \sin\left(x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}}}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus
$$\frac{\cos\left(x\right)^{2} - \sin\left(x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(x\right)\right)\,}}}}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Vorzeichen des Produkts bestimmen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$
Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.
Nur der geänderte Teil:
$\sin\left(x\right)\,\left(-\sin\left(x\right)\right) \;\Longrightarrow\; -\sin\left(x\right)\,\sin\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\cos\left(x\right)^{2} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin\left(x\right)\,\left(-\sin\left(x\right)\right)\,}}}}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$\frac{\cos\left(x\right)^{2} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(x\right)\,\sin\left(x\right)\right)\,}}}}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot a=a^2$$
Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck mal sich selbst ist das Quadrat dieses Ausdrucks.
Nur der geänderte Teil:
$-\sin\left(x\right)\,\sin\left(x\right) \;\Longrightarrow\; -\sin\left(x\right)^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\cos\left(x\right)^{2} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(x\right)\,\sin\left(x\right)\right)\,}}}}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben
$$\frac{\cos\left(x\right)^{2} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(x\right)^{2}\right)\,}}}}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 7 — Minus mal Minus ergibt Plus
Vereinfachung
📖 Regel
$$a-(-b)=a+b$$
Warum dieser Schritt? Wird ein negativer Ausdruck abgezogen, heben sich die beiden Minuszeichen auf.
Nur der geänderte Teil:
$\cos\left(x\right)^{2} - \left(-\sin\left(x\right)^{2}\right) \;\Longrightarrow\; \cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)^{2} - \left(-\sin\left(x\right)^{2}\right)\,}}}}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Minus mal Minus ergibt Plus
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}\,}}}}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)^{2}}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
- $\cos\left(x\right)\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.
Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{\sin\left(x\right)^{2}}{\cos\left(x\right)^{2}} + 1$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt