Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\right]}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \sin\left(x\right)$
- $v = \cos\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}}{\cos\left(x\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Sinus
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}\,\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}\,\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Ableitung des Kosinus
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\cos\left(x\right)\,\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}}}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus
$$\frac{\cos\left(x\right)\,\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(x\right)\,}}}}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\cos\left(x\right)\,\cos\left(x\right) - \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(x\right)\,\sin\left(x\right)\,}}{\cos\left(x\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{\sin\left(x\right)^{2}}{\cos\left(x\right)^{2}} + 1$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{\sin\left(x\right)^{2}}{\cos\left(x\right)^{2}} + 1$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)