Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\sin\left(x\right)}{x} + x^{2}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\sin\left(x\right)}{x} + x^{2}\right]}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \frac{\sin\left(x\right)}{x}$
- $v = x^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\sin\left(x\right)}{x} + x^{2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\sin\left(x\right)}{x}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Quotientenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \sin\left(x\right)$
- $v = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\sin\left(x\right)}{x}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,x - \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung des Sinus
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}\,x - \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}} + \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}\,x - \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}} + \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,\cos\left(x\right)\,} - \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}} + \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x\,\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{x^{2}} + \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{x\,\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{x^{2}} + \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{x\,\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)}{x^{2}} + \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$$
Schritt 5 — Potenzregel (Spezialfall)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{x\,\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)}{x^{2}} + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{x\,\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)}{x^{2}} + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{x\,\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)}{x^{2}} + 2\,x^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}$$
Endergebnis
$$\frac{x\,\cos\left(x\right) - \sin\left(x\right)}{x^{2}} + 2\,x$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$-\frac{\sin\left(x\right)}{x^{2}} + \frac{\cos\left(x\right)}{x} + 2\,x$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)