Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\sin\left(x\right)}{x} + x^{2}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\frac{\sin\left(x\right)}{x} + x^{2}\right)}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \frac{\sin\left(x\right)}{x}$
- $v = x^{2}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{\sin\left(x\right)}{x} + x^{2}\right)}\,}}}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{\sin\left(x\right)}{x}\right)} + \frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Quotientenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \sin\left(x\right)$
- $v = x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{\sin\left(x\right)}{x}\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}$$
Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}x - \sin\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x^{2}}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung des Sinus
Regel
$$\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}\,}}}x - \sin\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x^{2}} + \frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}$$
Nach Ableitung des Sinus
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}x - \sin\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x^{2}} + \frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\cos\left(x\right)x - \sin\left(x\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}}{x^{2}} + \frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\cos\left(x\right)x - \sin\left(x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{x^{2}} + \frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}$$
Vereinfacht
$$\frac{\cos\left(x\right)x - \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin\left(x\right)\,}}}}{x^{2}} + \frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}$$
Schritt 5 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\cos\left(x\right)x - \sin\left(x\right)}{x^{2}} + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{\cos\left(x\right)x - \sin\left(x\right)}{x^{2}} + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2x^{2 - 1}\,}}}$$
Vereinfacht
$$\frac{\cos\left(x\right)x - \sin\left(x\right)}{x^{2}} + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2x\,}}}$$
Ergebnis
$$\frac{\cos\left(x\right)x - \sin\left(x\right)}{x^{2}} + 2x$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$-\frac{\sin\left(x\right)}{x^{2}} + \frac{\cos\left(x\right)}{x} + 2x$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)