Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\sin\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right)\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = \sin\left(x\right)$
  • $v = \cos\left(2\,x\right)$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,\cos\left(2\,x\right) + \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(2\,x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Sinus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sin\left(x\right)=\cos\left(x\right)$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \cos\left(x\right)$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}\,\cos\left(2\,x\right) + \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(2\,x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}\,\cos\left(2\,x\right) + \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(2\,x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung des Kosinus (Kettenregel) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\cos\left(u\right)=-\sin\left(u\right)\cdot u'$$
Mit:
  • $u = 2\,x$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(2\,x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; -\sin\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\cos\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right) + \sin\left(x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(2\,x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
$$\cos\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right) + \sin\left(x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 4 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 2$
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\cos\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right) + \sin\left(x\right)\,\left(-\sin\left(2\,x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Faktorregel
$$\cos\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right) + \sin\left(x\right)\,\left(-\sin\left(2\,x\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\cos\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right) + \sin\left(x\right)\,\left(-\sin\left(2\,x\right) \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\cos\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right) + \sin\left(x\right)\,\left(-\sin\left(2\,x\right) \cdot 2 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)$$
Schritt 6 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $2 \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\cos\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right) + \sin\left(x\right)\,\left(-\sin\left(2\,x\right) \cdot \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot 1\,}}}\right)$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\cos\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right) + \sin\left(x\right)\,\left(-\sin\left(2\,x\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}\right)$$
Schritt 7 — Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$

Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.

Nur der geänderte Teil: $\sin\left(x\right)\,\left(-\sin\left(2\,x\right) \cdot 2\right) \;\Longrightarrow\; -\sin\left(x\right)\,\sin\left(2\,x\right) \cdot 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\cos\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin\left(x\right)\,\left(-\sin\left(2\,x\right) \cdot 2\right)\,}}}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$\cos\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(x\right)\,\sin\left(2\,x\right) \cdot 2\right)\,}}}$$
Schritt 8 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $-\sin\left(x\right)\,\sin\left(2\,x\right) \cdot 2 \;\Longrightarrow\; -2\,\sin\left(x\right)\,\sin\left(2\,x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\cos\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(x\right)\,\sin\left(2\,x\right) \cdot 2\right)\,}}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\cos\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-2\,\sin\left(x\right)\,\sin\left(2\,x\right)\right)\,}}}$$
Schritt 9 — Plus und Minus zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+(-b)=a-b$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren eines negativen Ausdrucks ist dasselbe wie das Subtrahieren des positiven Ausdrucks.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right) + \left(-2\,\sin\left(x\right)\,\sin\left(2\,x\right)\right)\,}}}$$
✨ Nach Plus und Minus zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right) - 2\,\sin\left(x\right)\,\sin\left(2\,x\right)\,}}}$$
Endergebnis
$$\cos\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right) - 2\,\sin\left(x\right)\,\sin\left(2\,x\right)$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\cos\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right) - 2\,\sin\left(x\right)\,\sin\left(2\,x\right)$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt