Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\sin\left(x\right)\cos\left(2x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\cos\left(2x\right)\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \sin\left(x\right)$
- $v = \cos\left(2x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\cos\left(2x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}\cos\left(2x\right) + \sin\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(2x\right)\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Sinus
Regel
$$\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}\,}}}\cos\left(2x\right) + \sin\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(2x\right)\right)}$$
Nach Ableitung des Sinus
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}\cos\left(2x\right) + \sin\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(2x\right)\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
Regel
$$\frac{d}{dx}(\cos(u)) = -\sin(u) \cdot u'$$
Mit:
- $u = 2x$
Aktueller Ausdruck
$$\cos\left(x\right)\cos\left(2x\right) + \sin\left(x\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(2x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
$$\cos\left(x\right)\cos\left(2x\right) + \sin\left(x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(2x\right)\frac{d}{dx}{\left(2x\right)}\,}}}$$
Schritt 4 — Faktorregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 2$
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\cos\left(x\right)\cos\left(2x\right) + \sin\left(x\right) \cdot -\sin\left(2x\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(2x\right)}\,}}}$$
Nach Faktorregel
$$\cos\left(x\right)\cos\left(2x\right) + \sin\left(x\right) \cdot -\sin\left(2x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\cos\left(2x\right) - 2 \cdot \sin\left(x\right)\sin\left(2x\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\cos\left(x\right)\cos\left(2x\right) - 2 \cdot \sin\left(x\right)\sin\left(2x\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\cos\left(x\right)\cos\left(2x\right) - 2 \cdot \sin\left(x\right)\sin\left(2x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Vereinfacht
$$\cos\left(x\right)\cos\left(2x\right) - 2 \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin\left(x\right)\sin\left(2x\right)\,}}}$$
Ergebnis
$$\cos\left(x\right)\cos\left(2x\right) - 2 \cdot \sin\left(x\right)\sin\left(2x\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\cos\left(x\right)\cos\left(2x\right) - 2\sin\left(x\right)\sin\left(2x\right)$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)