Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\sin\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right)\right]}$$
Schritt 1 — Produktregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \sin\left(x\right)$
- $v = \cos\left(2\,x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,\cos\left(2\,x\right) + \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(2\,x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Sinus
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}\,\cos\left(2\,x\right) + \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(2\,x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}\,\cos\left(2\,x\right) + \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(2\,x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\cos(u)) = -\sin(u) \cdot u'$$
Mit:
- $u = 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\cos\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right) + \sin\left(x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(2\,x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
$$\cos\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right) + \sin\left(x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(2\,x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}$$
Schritt 4 — Faktorregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 2$
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\cos\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right) + \sin\left(x\right) \cdot -\sin\left(2\,x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\cos\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right) + \sin\left(x\right) \cdot -\sin\left(2\,x\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\cos\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right) + \sin\left(x\right) \cdot -\sin\left(2\,x\right) \cdot 2 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\cos\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right) + \sin\left(x\right) \cdot -\sin\left(2\,x\right) \cdot 2 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\cos\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right) + \sin\left(x\right) \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-2\,\sin\left(2\,x\right)\,}$$
Endergebnis
$$\cos\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right) - 2 \cdot \sin\left(2\,x\right)\,\sin\left(x\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\cos\left(x\right)\,\cos\left(2\,x\right) - 2 \cdot \sin\left(2\,x\right)\,\sin\left(x\right)$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)