Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = \sin\left(x\right)$
  • $v = \cos\left(x\right)$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,\cos\left(x\right) + \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Sinus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sin\left(x\right)=\cos\left(x\right)$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \cos\left(x\right)$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}\,\cos\left(x\right) + \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}\,\cos\left(x\right) + \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot a=a^2$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck mal sich selbst ist das Quadrat dieses Ausdrucks.

Nur der geänderte Teil: $\cos\left(x\right)\,\cos\left(x\right) \;\Longrightarrow\; \cos\left(x\right)^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,\cos\left(x\right)\,}}} + \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)^{2}\,}}} + \sin\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung des Kosinus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\cos\left(x\right)=-\sin\left(x\right)$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; -\sin\left(x\right)$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus
$$\cos\left(x\right)^{2} + \sin\left(x\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(x\right)\right)\,}}}$$
Schritt 5 — Vorzeichen des Produkts bestimmen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$

Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.

Nur der geänderte Teil: $\sin\left(x\right)\,\left(-\sin\left(x\right)\right) \;\Longrightarrow\; -\sin\left(x\right)\,\sin\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\cos\left(x\right)^{2} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin\left(x\right)\,\left(-\sin\left(x\right)\right)\,}}}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$\cos\left(x\right)^{2} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(x\right)\,\sin\left(x\right)\right)\,}}}$$
Schritt 6 — Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot a=a^2$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck mal sich selbst ist das Quadrat dieses Ausdrucks.

Nur der geänderte Teil: $-\sin\left(x\right)\,\sin\left(x\right) \;\Longrightarrow\; -\sin\left(x\right)^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\cos\left(x\right)^{2} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(x\right)\,\sin\left(x\right)\right)\,}}}$$
✨ Nach Gleiche Faktoren als Quadrat schreiben
$$\cos\left(x\right)^{2} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(x\right)^{2}\right)\,}}}$$
Schritt 7 — Plus und Minus zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+(-b)=a-b$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren eines negativen Ausdrucks ist dasselbe wie das Subtrahieren des positiven Ausdrucks.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)^{2} + \left(-\sin\left(x\right)^{2}\right)\,}}}$$
✨ Nach Plus und Minus zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)^{2} - \sin\left(x\right)^{2}\,}}}$$
Endergebnis
$$\cos\left(x\right)^{2} - \sin\left(x\right)^{2}$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\cos\left(x\right)^{2} - \sin\left(x\right)^{2}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt