Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{\sin\left(x^{2}\right)}{\mathrm{e}^{2\,x}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\sin\left(x^{2}\right)}{\mathrm{e}^{2\,x}}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Quotientenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
  • $u = \sin\left(x^{2}\right)$
  • $v = \mathrm{e}^{2\,x}$

Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\sin\left(x^{2}\right)}{\mathrm{e}^{2\,x}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x^{2}\right)\right]}\,\mathrm{e}^{2\,x} - \sin\left(x^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{2\,x}\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Sinus (Kettenregel) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sin\left(u\right)=\cos\left(u\right)\cdot u'$$
Mit:
  • $u = x^{2}$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x^{2}\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \cos\left(x^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x^{2}\right)\right]}\,}}}\,\mathrm{e}^{2\,x} - \sin\left(x^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{2\,x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus (Kettenregel)
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}\,\mathrm{e}^{2\,x} - \sin\left(x^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{2\,x}\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\cos\left(x^{2}\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}\,\mathrm{e}^{2\,x} - \sin\left(x^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{2\,x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{\cos\left(x^{2}\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}\,\mathrm{e}^{2\,x} - \sin\left(x^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{2\,x}\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\cos\left(x^{2}\right) \cdot 2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}\,\mathrm{e}^{2\,x} - \sin\left(x^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{2\,x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{\cos\left(x^{2}\right) \cdot 2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\,\mathrm{e}^{2\,x} - \sin\left(x^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{2\,x}\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\cos\left(x^{2}\right) \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}}\,\mathrm{e}^{2\,x} - \sin\left(x^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{2\,x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\frac{\cos\left(x^{2}\right) \cdot 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}\,\mathrm{e}^{2\,x} - \sin\left(x^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{2\,x}\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $\cos\left(x^{2}\right) \cdot 2\,x\,\mathrm{e}^{2\,x} \;\Longrightarrow\; 2\,x\,\cos\left(x^{2}\right)\,\mathrm{e}^{2\,x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x^{2}\right) \cdot 2\,x\,\mathrm{e}^{2\,x}\,}}} - \sin\left(x^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{2\,x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\cos\left(x^{2}\right)\,\mathrm{e}^{2\,x}\,}}} - \sin\left(x^{2}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{2\,x}\right)^{2}}$$
Schritt 7 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = 2\,x$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x\,\cos\left(x^{2}\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} - \sin\left(x^{2}\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{2\,x}\right]}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{2\,x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{2\,x\,\cos\left(x^{2}\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} - \sin\left(x^{2}\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{2\,x}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{2\,x}\right)^{2}}$$
Schritt 8 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 2$
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x\,\cos\left(x^{2}\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} - \sin\left(x^{2}\right)\,\mathrm{e}^{2\,x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{2\,x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\frac{2\,x\,\cos\left(x^{2}\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} - \sin\left(x^{2}\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{2\,x}\right)^{2}}$$
Schritt 9 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x\,\cos\left(x^{2}\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} - \sin\left(x^{2}\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{2\,x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{2\,x\,\cos\left(x^{2}\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} - \sin\left(x^{2}\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} \cdot 2 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{2\,x}\right)^{2}}$$
Schritt 10 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $2 \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x\,\cos\left(x^{2}\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} - \sin\left(x^{2}\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} \cdot \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot 1\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{2\,x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{2\,x\,\cos\left(x^{2}\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} - \sin\left(x^{2}\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{2\,x}\right)^{2}}$$
Schritt 11 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $\sin\left(x^{2}\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} \cdot 2 \;\Longrightarrow\; 2\,\sin\left(x^{2}\right)\,\mathrm{e}^{2\,x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x\,\cos\left(x^{2}\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sin\left(x^{2}\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} \cdot 2\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{2\,x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\frac{2\,x\,\cos\left(x^{2}\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\sin\left(x^{2}\right)\,\mathrm{e}^{2\,x}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{2\,x}\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{2\,x\,\cos\left(x^{2}\right)\,\mathrm{e}^{2\,x} - 2\,\sin\left(x^{2}\right)\,\mathrm{e}^{2\,x}}{\left(\mathrm{e}^{2\,x}\right)^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $\mathrm{e}^{2\,x}\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$2\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,x\,\cos\left(x^{2}\right) - 2\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,\sin\left(x^{2}\right)$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt