Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\sin\left(x^{2}\right)}{\mathrm{e}^{2\,x}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{-2\,x}\sin\left(x^{2}\right)\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{-2\,x}$
- $v = \sin\left(x^{2}\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{-2\,x}\sin\left(x^{2}\right)\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{-2\,x}\right)}\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{-2\,x}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x^{2}\right)\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = -2\,x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{-2\,x}\right)}\,}}}\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{-2\,x}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x^{2}\right)\right)}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(-2\,x\right)}\,}}}\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{-2\,x}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x^{2}\right)\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\,}}}\frac{d}{dx}{\left(-2\,x\right)}\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{-2\,x}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x^{2}\right)\right)}$$
Schritt 3 — Faktorregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = -2$
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-2\,x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(-2\,x\right)}\,}}}\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{-2\,x}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x^{2}\right)\right)}$$
Nach Faktorregel
$$\mathrm{e}^{-2\,x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-2\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{-2\,x}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x^{2}\right)\right)}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-2\,x}-2\,\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{-2\,x}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x^{2}\right)\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{-2\,x}-2 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{-2\,x}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x^{2}\right)\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-2\,x}\left(-2\right)\,}}}\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{-2\,x}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x^{2}\right)\right)}$$
Schritt 5 — Ableitung des Sinus (Kettenregel)
Regel
$$\frac{d}{dx}(\sin(u)) = \cos(u) \cdot u'$$
Mit:
- $u = x^{2}$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-2\,x}\left(-2\right)\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{-2\,x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x^{2}\right)\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung des Sinus (Kettenregel)
$$\mathrm{e}^{-2\,x}\left(-2\right)\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{-2\,x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x^{2}\right)\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}}$$
Schritt 6 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-2\,x}\left(-2\right)\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{-2\,x}\cos\left(x^{2}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\mathrm{e}^{-2\,x}\left(-2\right)\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{-2\,x}\cos\left(x^{2}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}$$
Vereinfacht
$$\mathrm{e}^{-2\,x}\left(-2\right)\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{-2\,x}\cos\left(x^{2}\right) \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,}}}$$
Ergebnis
$$\mathrm{e}^{-2\,x}\left(-2\right)\sin\left(x^{2}\right) + \mathrm{e}^{-2\,x}\cos\left(x^{2}\right) \cdot 2\,x$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$2\,\cos\left(x^{2}\right)x\mathrm{e}^{-2\,x} - 2\,\sin\left(x^{2}\right)\mathrm{e}^{-2\,x}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)