Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\sin\left(x^{2}\right) + 3x$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x^{2}\right) + 3x\right)}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \sin\left(x^{2}\right)$
- $v = 3x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x^{2}\right) + 3x\right)}\,}}}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x^{2}\right)\right)} + \frac{d}{dx}{\left(3x\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Sinus (Kettenregel)
Regel
$$\frac{d}{dx}(\sin(u)) = \cos(u) \cdot u'$$
Mit:
- $u = x^{2}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x^{2}\right)\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(3x\right)}$$
Nach Ableitung des Sinus (Kettenregel)
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x^{2}\right)\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(3x\right)}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
Aktueller Ausdruck
$$\cos\left(x^{2}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(3x\right)}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\cos\left(x^{2}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2x^{2 - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(3x\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot \cos\left(x^{2}\right)x\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(3x\right)}$$
Schritt 4 — Faktorregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 3$
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$2 \cdot \cos\left(x^{2}\right)x + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(3x\right)}\,}}}$$
Nach Faktorregel
$$2 \cdot \cos\left(x^{2}\right)x + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$2 \cdot \cos\left(x^{2}\right)x + 3\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$2 \cdot \cos\left(x^{2}\right)x + 3 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Vereinfacht
$$2 \cdot \cos\left(x^{2}\right)x + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,}}}$$
Ergebnis
$$2 \cdot \cos\left(x^{2}\right)x + 3$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$2x\cos\left(x^{2}\right) + 3$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)