Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\sqrt{x}}{\sin\left(x\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\sqrt{x}}{\sin\left(x\right)}\right]}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \sqrt{x}$
- $v = \sin\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\sqrt{x}}{\sin\left(x\right)}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\,\sin\left(x\right) - \sqrt{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Kettenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}f(u)=f'(u)\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\,}}}\,\sin\left(x\right) - \sqrt{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Kettenregel
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,}}}\,\sin\left(x\right) - \sqrt{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Ableitung des Sinus
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,\sin\left(x\right) - \sqrt{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus
$$\frac{\frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,\sin\left(x\right) - \sqrt{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{\sin\left(x\right) - 2 \cdot \cos\left(x\right)\,x}{2 \cdot \sin\left(x\right)^{2}\,x^{\frac{1}{2}}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sin\left(x\right)\,\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}\,\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)^{2}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)