Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{\sqrt{x}}{\sin\left(x\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\frac{\sqrt{x}}{\sin\left(x\right)}\right)}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = \sqrt{x}$
- $v = \sin\left(x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{\sqrt{x}}{\sin\left(x\right)}\right)}\,}}}$$
Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left(\sqrt{x}\right)}\sin\left(x\right) - \sqrt{x}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}}{\sin^{2}\left(x\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Kettenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}f(u)=f'(u)\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sqrt{x}\right)}\,}}}\sin\left(x\right) - \sqrt{x}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Nach Kettenregel
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,}}}\,\sin\left(x\right) - \sqrt{x}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung des Sinus
Regel
$$\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,\sin\left(x\right) - \sqrt{x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}\,}}}}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Nach Ableitung des Sinus
$$\frac{\frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,\sin\left(x\right) - \sqrt{x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Ergebnis
$$\frac{\frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,\sin\left(x\right) - \sqrt{x}\cos\left(x\right)}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sin\left(x\right)\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}\cos\left(x\right)}{\sin^{2}\left(x\right)}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)