Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\sqrt{x}\sin\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\sqrt{x}\sin\left(x\right)\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \sqrt{x}$
- $v = \sin\left(x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sqrt{x}\sin\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sqrt{x}\right)}\sin\left(x\right) + \sqrt{x}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Kettenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}f(u)=f'(u)\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sqrt{x}\right)}\,}}}\sin\left(x\right) + \sqrt{x}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}$$
Nach Kettenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\sqrt{x}}\,}}}\,\sin\left(x\right) + \sqrt{x}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung des Sinus
Regel
$$\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\sin\left(x\right) + \sqrt{x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung des Sinus
$$\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\sin\left(x\right) + \sqrt{x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}$$
Ergebnis
$$\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\sin\left(x\right) + \sqrt{x}\cos\left(x\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\frac{\sin\left(x\right)}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x}\cos\left(x\right)$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)