Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\sqrt{x}\,\sin\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\,\sin\left(x\right)\right]}$$
Schritt 1 — Produktregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \sqrt{x}$
- $v = \sin\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\,\sin\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\,\sin\left(x\right) + \sqrt{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Kettenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}f(u)=f'(u)\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\,}}}\,\sin\left(x\right) + \sqrt{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Kettenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,}}}\,\sin\left(x\right) + \sqrt{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung des Sinus
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,\sin\left(x\right) + \sqrt{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,\sin\left(x\right) + \sqrt{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{1}{2} \cdot \sin\left(x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{x}\,\cos\left(x\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{\sin\left(x\right)}{2\,\sqrt{x}} + \sqrt{x}\,\cos\left(x\right)$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)