Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\sqrt{x} + 3x^{2}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\sqrt{x} + 3x^{2}\right)}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \sqrt{x}$
- $v = 3x^{2}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sqrt{x} + 3x^{2}\right)}\,}}}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sqrt{x}\right)} + \frac{d}{dx}{\left(3x^{2}\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Kettenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}f(u)=f'(u)\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sqrt{x}\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(3x^{2}\right)}$$
Nach Kettenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\sqrt{x}}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(3x^{2}\right)}$$
Schritt 3 — Faktorregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 3$
- $u = x^{2}$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(3x^{2}\right)}\,}}}$$
Nach Faktorregel
$$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}}$$
Schritt 4 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\sqrt{x}} + 3\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{1}{2\sqrt{x}} + 3 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2x^{2 - 1}\,}}}$$
Vereinfacht
$$\frac{1}{2\sqrt{x}} + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,6x\,}}}$$
Ergebnis
$$\frac{1}{2\sqrt{x}} + 6x$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$6x + \frac{1}{2\sqrt{x}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)