Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\sqrt{x} + 3\,x^{2}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x} + 3\,x^{2}\right]}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \sqrt{x}$
- $v = 3\,x^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x} + 3\,x^{2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[3\,x^{2}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Kettenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}f(u)=f'(u)\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[3\,x^{2}\right]}$$
✨ Nach Kettenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{x}}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[3\,x^{2}\right]}$$
Schritt 3 — Faktorregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 3$
- $u = x^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x}} + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[3\,x^{2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x}} + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}$$
Schritt 4 — Potenzregel (Spezialfall)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x}} + 3 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x}} + 3 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x}} + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,6\,x^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}\,}$$
Endergebnis
$$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} + 6\,x$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$6\,x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)