Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\sqrt{x^{2} + 1}\,\ln\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x^{2} + 1}\,\log\left(x\right)\right]}$$
Schritt 1 — Produktregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \sqrt{x^{2} + 1}$
- $v = \log\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x^{2} + 1}\,\log\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x^{2} + 1}\right]}\,\log\left(x\right) + \sqrt{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Kettenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}f(u)=f'(u)\cdot u'$$
Mit:
- $u = x^{2} + 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sqrt{x^{2} + 1}\right]}\,}}}\,\log\left(x\right) + \sqrt{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Kettenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}\,}}}\,\log\left(x\right) + \sqrt{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x^{2}$
- $v = 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}\,}}}\,\log\left(x\right) + \sqrt{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\,\log\left(x\right) + \sqrt{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}$$
Schritt 4 — Potenzregel (Spezialfall)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\log\left(x\right) + \sqrt{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\log\left(x\right) + \sqrt{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \left(2\,x^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\log\left(x\right) + \sqrt{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}$$
Schritt 5 — Konstantenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \left(2\,x + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)\,\log\left(x\right) + \sqrt{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \left(2\,x + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)\,\log\left(x\right) + \sqrt{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,}\,\log\left(x\right) + \sqrt{x^{2} + 1}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}$$
Schritt 6 — Ableitung des Logarithmus
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\log(x)) = \frac{1}{x}$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\log\left(x\right) + \sqrt{x^{2} + 1} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Logarithmus
$$2\,x \cdot \frac{1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\log\left(x\right) + \sqrt{x^{2} + 1} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{2\,x \cdot 1}{2\,\sqrt{x^{2} + 1}}\,\log\left(x\right) + \frac{\sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{x}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{x\,\log\left(x\right)}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)