Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{\tan\left(x\right)}{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{\tan\left(x\right)}{x}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Quotientenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
  • $u = \tan\left(x\right)$
  • $v = x$

Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{\tan\left(x\right)}{x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x\right)\right]}\,x - \tan\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Tangens Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\tan\left(x\right)=\frac{1}{\cos\left(x\right)^{2}}$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{\cos\left(x\right)^{2}}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x\right)\right]}\,}}}\,x - \tan\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Tangens
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\cos\left(x\right)^{2}}\,}}}\,x - \tan\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$$
Schritt 3 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{\cos\left(x\right)^{2}}\,x \;\Longrightarrow\; \frac{x}{\cos\left(x\right)^{2}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\cos\left(x\right)^{2}}\,x\,}}} - \tan\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x}{\cos\left(x\right)^{2}}\,}}} - \tan\left(x\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x^{2}}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{x}{\cos\left(x\right)^{2}} - \tan\left(x\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{x^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\frac{x}{\cos\left(x\right)^{2}} - \tan\left(x\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{x^{2}}$$
Schritt 5 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $\tan\left(x\right) \cdot 1 \;\Longrightarrow\; \tan\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{x}{\cos\left(x\right)^{2}} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\tan\left(x\right) \cdot 1\,}}}}{x^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{\frac{x}{\cos\left(x\right)^{2}} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\tan\left(x\right)\,}}}}{x^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{\frac{x}{\cos\left(x\right)^{2}} - \tan\left(x\right)}{x^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $\cos\left(x\right)\ne0$ – Funktionswert und Ableitung sind an Polstellen nicht definiert.
  • $x\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{\sec\left(x\right)^{2}}{x} - \frac{\tan\left(x\right)}{x^{2}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt