Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\tan\left(x\right) - 5\mathrm{e}^{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\tan\left(x\right) - 5\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \tan\left(x\right)$
- $v = 5\mathrm{e}^{x}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\tan\left(x\right) - 5\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\tan\left(x\right)\right)} - \frac{d}{dx}{\left(5\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Tangens
Regel
$$\frac{d}{dx}(\tan(x)) = \frac{1}{\cos^2(x)}$$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\tan\left(x\right)\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(5\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Nach Ableitung des Tangens
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sec^{2}(x)\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(5\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Schritt 3 — Faktorregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 5$
- $u = \mathrm{e}^{x}$
Aktueller Ausdruck
$$\sec^{2}(x) - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(5\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}$$
Nach Faktorregel
$$\sec^{2}(x) - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,5\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}$$
Schritt 4 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\sec^{2}(x) - 5\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\sec^{2}(x) - 5\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\sec^{2}(x) - 5\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\sec^{2}(x) - 5\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Vereinfacht
$$\sec^{2}(x) - 5 \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\ln\left(\mathrm{e}\right)$$
Ergebnis
$$\sec^{2}(x) - 5\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\sec^{2}(x) - 5\mathrm{e}^{x}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)