Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\tan\left(x^{3}\right)\ln\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\tan\left(x^{3}\right)\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \log\left(x\right)$
- $v = \tan\left(x^{3}\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\tan\left(x^{3}\right)\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}\tan\left(x^{3}\right) + \log\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(\tan\left(x^{3}\right)\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Kettenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}f(u)=f'(u)\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}\,}}}\tan\left(x^{3}\right) + \log\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(\tan\left(x^{3}\right)\right)}$$
Nach Kettenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}\,\tan\left(x^{3}\right) + \log\left(x\right)\frac{d}{dx}{\left(\tan\left(x^{3}\right)\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung des Tangens (Kettenregel)
Regel
$$\frac{d}{dx}(\tan(u)) = \frac{u'}{\cos^2(u)}$$
Mit:
- $u = x^{3}$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{x}\,\tan\left(x^{3}\right) + \log\left(x\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\tan\left(x^{3}\right)\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung des Tangens (Kettenregel)
$$\frac{1}{x}\,\tan\left(x^{3}\right) + \log\left(x\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\sec^{2}(x^{3})\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}\,}}}$$
Schritt 4 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 3$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{x}\,\tan\left(x^{3}\right) + \log\left(x\right)\sec^{2}(x^{3})\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}\,}}}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{1}{x}\,\tan\left(x^{3}\right) + \log\left(x\right)\sec^{2}(x^{3}) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3x^{3 - 1}\,}}}$$
Vereinfacht
$$\frac{1}{x}\,\tan\left(x^{3}\right) + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 \cdot \log\left(x\right)\sec^{2}(x^{3})x^{2}\,}}}$$
Ergebnis
$$\frac{1}{x}\,\tan\left(x^{3}\right) + 3 \cdot \log\left(x\right)\sec^{2}(x^{3})x^{2}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\frac{\tan\left(x^{3}\right)}{x} + 3x^{2}\log\left(x\right)\sec^{2}(x^{3})$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)