Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\tan\left(x^{3}\right)\,\ln\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x^{3}\right)\,\ln\left(x\right)\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = \tan\left(x^{3}\right)$
  • $v = \ln\left(x\right)$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x^{3}\right)\,\ln\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x^{3}\right)\right]}\,\ln\left(x\right) + \tan\left(x^{3}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung des Tangens (Kettenregel) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\tan\left(u\right)=\frac{1}{\cos\left(u\right)^{2}}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = x^{3}$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x^{3}\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\tan\left(x^{3}\right)\right]}\,}}}\,\ln\left(x\right) + \tan\left(x^{3}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Tangens (Kettenregel)
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,}}}\,\ln\left(x\right) + \tan\left(x^{3}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 3$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]} \;\Longrightarrow\; 3\,x^{3 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,}}}\,\ln\left(x\right) + \tan\left(x^{3}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{1}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{3 - 1}\,}}}\,\ln\left(x\right) + \tan\left(x^{3}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
Schritt 4 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $3 - 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{1}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}} \cdot 3\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 - 1\,}}}}\,\ln\left(x\right) + \tan\left(x^{3}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{1}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}} \cdot 3\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}}\,\ln\left(x\right) + \tan\left(x^{3}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
Schritt 5 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $\frac{1}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}} \cdot 3\,x^{2}\,\ln\left(x\right) \;\Longrightarrow\; \frac{3\,x^{2}\,\ln\left(x\right)}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}} \cdot 3\,x^{2}\,\ln\left(x\right)\,}}} + \tan\left(x^{3}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{3\,x^{2}\,\ln\left(x\right)}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}}\,}}} + \tan\left(x^{3}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$$
Schritt 6 — Ableitung des natürlichen Logarithmus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x}$$

Warum dieser Schritt? Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist der Kehrwert seines Arguments. Hier ist das Argument genau die Ableitungsvariable.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{x}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{3\,x^{2}\,\ln\left(x\right)}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}} + \tan\left(x^{3}\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des natürlichen Logarithmus
$$\frac{3\,x^{2}\,\ln\left(x\right)}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}} + \tan\left(x^{3}\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}$$
Schritt 7 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $\tan\left(x^{3}\right) \cdot \frac{1}{x} \;\Longrightarrow\; \frac{\tan\left(x^{3}\right)}{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{3\,x^{2}\,\ln\left(x\right)}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\tan\left(x^{3}\right) \cdot \frac{1}{x}\,}}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\frac{3\,x^{2}\,\ln\left(x\right)}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\tan\left(x^{3}\right)}{x}\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{3\,x^{2}\,\ln\left(x\right)}{\cos\left(x^{3}\right)^{2}} + \frac{\tan\left(x^{3}\right)}{x}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $\cos\left(x^{3}\right)\ne0$ – Funktionswert und Ableitung sind an Polstellen nicht definiert.
  • $x>0$ – Das Logarithmusargument muss positiv sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{\tan\left(x^{3}\right)}{x} + 3\,x^{2}\,\log\left(x\right)\,\sec\left(x^{3}\right)^{2}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt