Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$x\mathrm{e}^{x} - \frac{1}{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}x - \frac{1}{x}\right)}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}x$
- $v = \frac{1}{x}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}x - \frac{1}{x}\right)}\,}}}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}x\right)} - \frac{d}{dx}{\left(\frac{1}{x}\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}$
- $v = x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}x\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\frac{1}{x}\right)}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}x + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\frac{1}{x}\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}x + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x\right)} - \frac{d}{dx}{\left(\frac{1}{x}\right)}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}x + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x\right)} - \frac{d}{dx}{\left(\frac{1}{x}\right)}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}x + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x\right)} - \frac{d}{dx}{\left(\frac{1}{x}\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}x + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x\right)} - \frac{d}{dx}{\left(\frac{1}{x}\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\ln\left(\mathrm{e}\right)x + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x\right)} - \frac{d}{dx}{\left(\frac{1}{x}\right)}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x + \mathrm{e}^{x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\frac{1}{x}\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x + \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\frac{1}{x}\right)}$$
Vereinfacht
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\frac{1}{x}\right)}$$
Schritt 6 — Quotientenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = 1$
- $v = x$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x + \mathrm{e}^{x} - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{1}{x}\right)}\,}}}$$
Nach Quotientenregel
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x + \mathrm{e}^{x} - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left(1\right)}x - 1\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x^{2}}\,}}}$$
Vereinfacht
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x + \mathrm{e}^{x} - \frac{\frac{d}{dx}{\left(1\right)}x - \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}}{x^{2}}$$
Schritt 7 — Konstantenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 1$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x + \mathrm{e}^{x} - \frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(1\right)}\,}}}x - \frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x^{2}}$$
Nach Konstantenregel
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x + \mathrm{e}^{x} - \frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}x - \frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x^{2}}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x + \mathrm{e}^{x} + \frac{\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x^{2}}\,}}}$$
Schritt 8 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x + \mathrm{e}^{x} + \frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}}{x^{2}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x + \mathrm{e}^{x} + \frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{x^{2}}$$
Ergebnis
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x + \mathrm{e}^{x} + \frac{1}{x^{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\mathrm{e}^{x}x + \frac{1}{x^{2}} + \mathrm{e}^{x}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)