Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{x}{x + 1} - \mathrm{e}^{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\frac{x}{x + 1} - \mathrm{e}^{x}\right)}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = \frac{x}{x + 1}$
- $v = \mathrm{e}^{x}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{x}{x + 1} - \mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{x}{x + 1}\right)} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Quotientenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = x$
- $v = x + 1$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{x}{x + 1}\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\left(x + 1\right) - x\frac{d}{dx}{\left(x + 1\right)}}{\left(x + 1\right)^{2}}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\left(x + 1\right) - x\frac{d}{dx}{\left(x + 1\right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\left(x + 1\right) - x\frac{d}{dx}{\left(x + 1\right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x + 1\,}}} - x\frac{d}{dx}{\left(x + 1\right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Schritt 4 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x$
- $v = 1$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{x + 1 - x\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x + 1\right)}\,}}}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{x + 1 - x \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)} + \frac{d}{dx}{\left(1\right)}\,}}}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{x + 1 - x \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(1\right)}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{x + 1 - x \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(1\right)}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Schritt 6 — Konstantenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 1$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{x + 1 - x \cdot \left(1 + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(1\right)}\,}}}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Nach Konstantenregel
$$\frac{x + 1 - x \cdot \left(1 + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Vereinfacht
$$\frac{x + 1 - \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Schritt 7 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{x + 1 - x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{x + 1 - x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Schritt 8 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{x + 1 - x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{x + 1 - x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Vereinfacht
$$\frac{x + 1 - x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\ln\left(\mathrm{e}\right)$$
Ergebnis
$$\frac{x + 1 - x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\frac{1}{x + 1} - \frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \mathrm{e}^{x}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)