Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{x}{\arcsin\left(x\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\frac{x}{\arcsin\left(x\right)}\right)}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = x$
- $v = \arcsin\left(x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{x}{\arcsin\left(x\right)}\right)}\,}}}$$
Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\arcsin\left(x\right) - x\frac{d}{dx}{\left(\arcsin\left(x\right)\right)}}{\arcsin^{2}\left(x\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\arcsin\left(x\right) - x\frac{d}{dx}{\left(\arcsin\left(x\right)\right)}}{\arcsin^{2}\left(x\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\arcsin\left(x\right) - x\frac{d}{dx}{\left(\arcsin\left(x\right)\right)}}{\arcsin^{2}\left(x\right)}$$
Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\arcsin\left(x\right)\,}}} - x\frac{d}{dx}{\left(\arcsin\left(x\right)\right)}}{\arcsin^{2}\left(x\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung des Arcussinus
Regel
$$\frac{d}{dx}(\arcsin(x))=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\arcsin\left(x\right) - x\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\arcsin\left(x\right)\right)}\,}}}}{\arcsin^{2}\left(x\right)}$$
Nach Ableitung des Arcussinus
$$\frac{\arcsin\left(x\right) - x \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,}}}}{\arcsin^{2}\left(x\right)}$$
Ergebnis
$$\frac{\arcsin\left(x\right) - x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}{\arcsin^{2}\left(x\right)}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\frac{1}{\arcsin\left(x\right)} - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}\arcsin^{2}\left(x\right)}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)