Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{x}{\arctan\left(x\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\frac{x}{\arctan\left(x\right)}\right)}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = x$
- $v = \arctan\left(x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{x}{\arctan\left(x\right)}\right)}\,}}}$$
Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\arctan\left(x\right) - x\frac{d}{dx}{\left(\arctan\left(x\right)\right)}}{\arctan^{2}\left(x\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\arctan\left(x\right) - x\frac{d}{dx}{\left(\arctan\left(x\right)\right)}}{\arctan^{2}\left(x\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\arctan\left(x\right) - x\frac{d}{dx}{\left(\arctan\left(x\right)\right)}}{\arctan^{2}\left(x\right)}$$
Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\arctan\left(x\right)\,}}} - x\frac{d}{dx}{\left(\arctan\left(x\right)\right)}}{\arctan^{2}\left(x\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung des Arcustangens
Regel
$$\frac{d}{dx}(\arctan(x))=\frac{1}{1+x^2}$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\arctan\left(x\right) - x\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\arctan\left(x\right)\right)}\,}}}}{\arctan^{2}\left(x\right)}$$
Nach Ableitung des Arcustangens
$$\frac{\arctan\left(x\right) - x \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{1 + x^{2}}\,}}}}{\arctan^{2}\left(x\right)}$$
Ergebnis
$$\frac{\arctan\left(x\right) - x \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}}{\arctan^{2}\left(x\right)}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\frac{1}{\arctan\left(x\right)} - \frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)\,\arctan^{2}\left(x\right)}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)