Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{x}{\arctan\left(x\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{x}{\arctan\left(x\right)}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Quotientenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $v = \arctan\left(x\right)$

Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{x}{\arctan\left(x\right)}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\arctan\left(x\right) - x\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]}}{\arctan\left(x\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\arctan\left(x\right) - x\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]}}{\arctan\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\arctan\left(x\right) - x\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]}}{\arctan\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $1\,\arctan\left(x\right) \;\Longrightarrow\; \arctan\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,\arctan\left(x\right)\,}}} - x\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]}}{\arctan\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\arctan\left(x\right)\,}}} - x\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]}}{\arctan\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Ableitung des Arcustangens Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\arctan\left(x\right)=\frac{1}{1 + x^{2}}$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{1 + x^{2}}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\arctan\left(x\right) - x\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\arctan\left(x\right)\right]}\,}}}}{\arctan\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Arcustangens
$$\frac{\arctan\left(x\right) - x \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{1 + x^{2}}\,}}}}{\arctan\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $x \cdot \frac{1}{1 + x^{2}} \;\Longrightarrow\; \frac{x}{1 + x^{2}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\arctan\left(x\right) - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}\,}}}}{\arctan\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\frac{\arctan\left(x\right) - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x}{1 + x^{2}}\,}}}}{\arctan\left(x\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{\arctan\left(x\right) - \frac{x}{1 + x^{2}}}{\arctan\left(x\right)^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $\arctan\left(x\right)\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{1}{\arctan\left(x\right)} - \frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)\,\arctan\left(x\right)^{2}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt