Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{x}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{x}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\right]}$$
Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.
Schritt 1 — Quotientenregel
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = x$
- $v = \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)$
Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{x}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right]}}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Variablen
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right]}}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right]}}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Faktor 1 entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$
Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
Nur der geänderte Teil:
$1\,\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) \;\Longrightarrow\; \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,}}} - x\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right]}}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,}}} - x\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right]}}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\cos\left(u\right)=-\sin\left(u\right)\cdot u'$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}$
Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right]} \;\Longrightarrow\; -\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right]}\,}}}}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
$$\frac{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\right)\,}}}}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Ableitung der Exponentialfunktion
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x\,\left(-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}\right)}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x\,\left(-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Ableitung der Variablen
Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.
Nur der geänderte Teil:
$\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x\,\left(-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\mathrm{e}^{x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x\,\left(-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 7 — Faktor 1 entfernen
Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$
Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.
Nur der geänderte Teil:
$\mathrm{e}^{x} \cdot 1 \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x\,\left(-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x} \cdot 1\,}}}\right)}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x\,\left(-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\right)}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 8 — Vorzeichen des Produkts bestimmen
Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(-b)=-(a\cdot b),\quad (-a)\cdot(-b)=a\cdot b$$
Warum dieser Schritt? Wir ziehen die Minuszeichen der Faktoren vor das Produkt. Eine gerade Anzahl von Minuszeichen ergibt Plus, eine ungerade Minus.
Nur der geänderte Teil:
$x\,\left(-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\mathrm{e}^{x}\right) \;\Longrightarrow\; -x\,\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,\left(-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\mathrm{e}^{x}\right)\,}}}}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Vorzeichen des Produkts bestimmen
$$\frac{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-x\,\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\mathrm{e}^{x}\right)\,}}}}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 9 — Minus mal Minus ergibt Plus
Vereinfachung
📖 Regel
$$a-(-b)=a+b$$
Warum dieser Schritt? Wird ein negativer Ausdruck abgezogen, heben sich die beiden Minuszeichen auf.
Nur der geänderte Teil:
$\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - \left(-x\,\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\mathrm{e}^{x}\right) \;\Longrightarrow\; \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) + x\,\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - \left(-x\,\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\mathrm{e}^{x}\right)\,}}}}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Minus mal Minus ergibt Plus
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) + x\,\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\mathrm{e}^{x}\,}}}}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) + x\,\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\mathrm{e}^{x}}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
- $\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.
Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,x}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}} + \frac{1}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt