Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{x}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\frac{x}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\right)}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = x$
- $v = \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{x}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\right)}\,}}}$$
Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right)}}{\cos^{2}\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right)}}{\cos^{2}\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right)}}{\cos^{2}\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,}}} - x\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right)}}{\cos^{2}\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
Regel
$$\frac{d}{dx}(\cos(u)) = -\sin(u) \cdot u'$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right)}\,}}}}{\cos^{2}\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Nach Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
$$\frac{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}}{\cos^{2}\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Schritt 4 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}}{\cos^{2}\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}}{\cos^{2}\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Vereinfacht
$$\frac{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right) \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{\cos^{2}\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\mathrm{e}^{x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}}{\cos^{2}\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{\cos^{2}\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Vereinfacht
$$\frac{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}}{\cos^{2}\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Ergebnis
$$\frac{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\mathrm{e}^{x}}{\cos^{2}\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)x}{\cos^{2}\left(\mathrm{e}^{x}\right)} + \frac{1}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)