Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{x}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{x}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\right]}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = x$
- $v = \cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{x}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right]}}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right]}}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right]}}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right]}}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\cos(u)) = -\sin(u) \cdot u'$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)\right]}\,}}}}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus (Kettenregel)
$$\frac{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Ableitung der Exponentialfunktion
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x \cdot -\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x}\right]}\,}}}}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x \cdot -\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,\ln\left(\mathrm{e}\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x \cdot -\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right) \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x \cdot -\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right) \cdot \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x \cdot -\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right) \cdot \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right) - x \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right) \cdot \mathrm{e}^{x}\,}}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,x}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}} + \frac{1}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{\mathrm{e}^{x}\,\sin\left(\mathrm{e}^{x}\right)\,x}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{2}} + \frac{1}{\cos\left(\mathrm{e}^{x}\right)}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)