Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{x}{\mathrm{e}^{x}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{-x}x\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{-x}$
- $v = x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{-x}x\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)}x + \mathrm{e}^{-x}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = -x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)}\,}}}x + \mathrm{e}^{-x}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(-x\right)}\,}}}x + \mathrm{e}^{-x}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x}\,}}}\frac{d}{dx}{\left(-x\right)}x + \mathrm{e}^{-x}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung eines negativen Terms
Regel
$$\frac{d}{dx}(-u) = -u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(-x\right)}\,}}}x + \mathrm{e}^{-x}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}$$
Nach Ableitung eines negativen Terms
$$\mathrm{e}^{-x}\left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\right)x + \mathrm{e}^{-x}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-x}\left(-\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\right)x + \mathrm{e}^{-x}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{-x}\left(-\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)x + \mathrm{e}^{-x}\frac{d}{dx}{\left(x\right)}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{-x}\left(-1\right)x + \mathrm{e}^{-x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{-x}\left(-1\right)x + \mathrm{e}^{-x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}$$
Vereinfacht
$$\mathrm{e}^{-x}\left(-1\right)x + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x}\,}}}$$
Ergebnis
$$\mathrm{e}^{-x}\left(-1\right)x + \mathrm{e}^{-x}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\mathrm{e}^{-x} - \mathrm{e}^{-x}x$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)