Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{x}{\ln\left(x\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\frac{x}{\log\left(x\right)}\right)}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = x$
- $v = \log\left(x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{x}{\log\left(x\right)}\right)}\,}}}$$
Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\log\left(x\right) - x\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}}{\left(\log\left(x\right)\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\log\left(x\right) - x\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}}{\left(\log\left(x\right)\right)^{2}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\log\left(x\right) - x\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}}{\left(\log\left(x\right)\right)^{2}}$$
Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\log\left(x\right)\,}}} - x\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}}{\left(\log\left(x\right)\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Kettenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}f(u)=f'(u)\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\log\left(x\right) - x\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}\,}}}}{\left(\log\left(x\right)\right)^{2}}$$
Nach Kettenregel
$$\frac{\log\left(x\right) - x \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}}{\left(\log\left(x\right)\right)^{2}}$$
Ergebnis
$$\frac{\log\left(x\right) - x \cdot \frac{1}{x}}{\left(\log\left(x\right)\right)^{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\frac{1}{\log\left(x\right)} - \frac{1}{\left(\log\left(x\right)\right)^{2}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)