Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$x^{2}\,\sin\left(x\right) + 5\,x^{3}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\sin\left(x\right) + 5\,x^{3}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = x^{2}\,\sin\left(x\right)$
  • $v = 5\,x^{3}$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\sin\left(x\right) + 5\,x^{3}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\sin\left(x\right)\right]} + \frac{d}{dx}{\left[5\,x^{3}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = x^{2}$
  • $v = \sin\left(x\right)$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\sin\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\sin\left(x\right)\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[5\,x^{3}\right]}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[5\,x^{3}\right]}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} + \frac{d}{dx}{\left[5\,x^{3}\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} + \frac{d}{dx}{\left[5\,x^{3}\right]}$$
Schritt 4 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} + \frac{d}{dx}{\left[5\,x^{3}\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} + \frac{d}{dx}{\left[5\,x^{3}\right]}$$
Schritt 5 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}}\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} + \frac{d}{dx}{\left[5\,x^{3}\right]}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} + \frac{d}{dx}{\left[5\,x^{3}\right]}$$
Schritt 6 — Ableitung des Sinus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sin\left(x\right)=\cos\left(x\right)$$

Warum dieser Schritt? Das Argument ist genau x. Wir setzen die bekannte Ableitung dieser Grundfunktion ein.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \cos\left(x\right)$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(x\right)\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[5\,x^{3}\right]}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus
$$2\,x\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[5\,x^{3}\right]}$$
Schritt 7 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 5$
  • $u = x^{3}$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[5\,x^{3}\right]} \;\Longrightarrow\; 5\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\cos\left(x\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[5\,x^{3}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$2\,x\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\cos\left(x\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,5\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,}}}$$
Schritt 8 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 3$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]} \;\Longrightarrow\; 3\,x^{3 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\cos\left(x\right) + 5\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$2\,x\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\cos\left(x\right) + 5 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{3 - 1}\,}}}$$
Schritt 9 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $3 - 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\cos\left(x\right) + 5 \cdot 3\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 - 1\,}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$2\,x\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\cos\left(x\right) + 5 \cdot 3\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}}$$
Schritt 10 — Zahlenfaktoren zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\cdot b=(a\cdot b)\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Wir multiplizieren die Zahlenfaktoren miteinander und schreiben das Ergebnis nach vorne. Die übrigen Faktoren bleiben stehen. Ist das Produkt 1, entfällt dieser Faktor ganz.

Nur der geänderte Teil: $5 \cdot 3\,x^{2} \;\Longrightarrow\; 15\,x^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\cos\left(x\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,5 \cdot 3\,x^{2}\,}}}$$
✨ Nach Zahlenfaktoren zusammenfassen
$$2\,x\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\cos\left(x\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,15\,x^{2}\,}}}$$
Endergebnis
$$2\,x\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\cos\left(x\right) + 15\,x^{2}$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$2\,x\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\cos\left(x\right) + 15\,x^{2}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt