Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$x^{2}\sin\left(x\right) + 5x^{3}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\sin\left(x\right) + 5x^{3}\right)}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x^{2}\sin\left(x\right)$
- $v = 5x^{3}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\sin\left(x\right) + 5x^{3}\right)}\,}}}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\sin\left(x\right)\right)} + \frac{d}{dx}{\left(5x^{3}\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = x^{2}$
- $v = \sin\left(x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\sin\left(x\right)\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(5x^{3}\right)}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\sin\left(x\right) + x^{2}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(5x^{3}\right)}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}}\sin\left(x\right) + x^{2}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)} + \frac{d}{dx}{\left(5x^{3}\right)}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2x^{2 - 1}\,}}}\sin\left(x\right) + x^{2}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)} + \frac{d}{dx}{\left(5x^{3}\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2x\sin\left(x\right)\,}}} + x^{2}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)} + \frac{d}{dx}{\left(5x^{3}\right)}$$
Schritt 4 — Ableitung des Sinus
Regel
$$\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$$
Aktueller Ausdruck
$$2x\sin\left(x\right) + x^{2}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(5x^{3}\right)}$$
Nach Ableitung des Sinus
$$2x\sin\left(x\right) + x^{2}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(5x^{3}\right)}$$
Schritt 5 — Faktorregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 5$
- $u = x^{3}$
Aktueller Ausdruck
$$2x\sin\left(x\right) + x^{2}\cos\left(x\right) + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(5x^{3}\right)}\,}}}$$
Nach Faktorregel
$$2x\sin\left(x\right) + x^{2}\cos\left(x\right) + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,5\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}\,}}}$$
Schritt 6 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 3$
Aktueller Ausdruck
$$2x\sin\left(x\right) + x^{2}\cos\left(x\right) + 5\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}\,}}}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$2x\sin\left(x\right) + x^{2}\cos\left(x\right) + 5 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3x^{3 - 1}\,}}}$$
Vereinfacht
$$2x\sin\left(x\right) + x^{2}\cos\left(x\right) + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,15x^{2}\,}}}$$
Ergebnis
$$2x\sin\left(x\right) + x^{2}\cos\left(x\right) + 15x^{2}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$2x\sin\left(x\right) + x^{2}\cos\left(x\right) + 15x^{2}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)