Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{x^{2}}{2\,\ln\left(x\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{x^{2}}{2\,\ln\left(x\right)}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Quotientenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
  • $u = x^{2}$
  • $v = 2\,\ln\left(x\right)$

Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{x^{2}}{2\,\ln\left(x\right)}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \cdot 2\,\ln\left(x\right) - x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,\ln\left(x\right)\right]}}{\left(2\,\ln\left(x\right)\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenz eines Produkts Vereinfachung
📖 Regel
$$(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$$

Warum dieser Schritt? Jeder Faktor des Produkts wird mit dem Exponenten potenziert.

Nur der geänderte Teil: $\left(2\,\ln\left(x\right)\right)^{2} \;\Longrightarrow\; 2^{2}\,\ln\left(x\right)^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \cdot 2\,\ln\left(x\right) - x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,\ln\left(x\right)\right]}}{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,\ln\left(x\right)\right)^{2}\,}}}}$$
✨ Nach Potenz eines Produkts
$$\frac{\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \cdot 2\,\ln\left(x\right) - x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,\ln\left(x\right)\right]}}{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{2}\,\ln\left(x\right)^{2}\,}}}}$$
Schritt 3 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2^{2} \;\Longrightarrow\; 4$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \cdot 2\,\ln\left(x\right) - x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,\ln\left(x\right)\right]}}{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{2}\,}}}\,\ln\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \cdot 2\,\ln\left(x\right) - x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,\ln\left(x\right)\right]}}{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}}\,\ln\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}} \cdot 2\,\ln\left(x\right) - x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,\ln\left(x\right)\right]}}{4\,\ln\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}} \cdot 2\,\ln\left(x\right) - x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,\ln\left(x\right)\right]}}{4\,\ln\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}} \cdot 2\,\ln\left(x\right) - x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,\ln\left(x\right)\right]}}{4\,\ln\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}} \cdot 2\,\ln\left(x\right) - x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,\ln\left(x\right)\right]}}{4\,\ln\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}} \cdot 2\,\ln\left(x\right) - x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,\ln\left(x\right)\right]}}{4\,\ln\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\frac{2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}} \cdot 2\,\ln\left(x\right) - x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,\ln\left(x\right)\right]}}{4\,\ln\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 7 — Zahlenfaktoren zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\cdot b=(a\cdot b)\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Wir multiplizieren die Zahlenfaktoren miteinander und schreiben das Ergebnis nach vorne. Die übrigen Faktoren bleiben stehen. Ist das Produkt 1, entfällt dieser Faktor ganz.

Nur der geänderte Teil: $2\,x \cdot 2\,\ln\left(x\right) \;\Longrightarrow\; 4\,x\,\ln\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x \cdot 2\,\ln\left(x\right)\,}}} - x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,\ln\left(x\right)\right]}}{4\,\ln\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlenfaktoren zusammenfassen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,x\,\ln\left(x\right)\,}}} - x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,\ln\left(x\right)\right]}}{4\,\ln\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 8 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 2$
  • $u = \ln\left(x\right)$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[2\,\ln\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{4\,x\,\ln\left(x\right) - x^{2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,\ln\left(x\right)\right]}\,}}}}{4\,\ln\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\frac{4\,x\,\ln\left(x\right) - x^{2} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,}}}}{4\,\ln\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 9 — Ableitung des natürlichen Logarithmus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x}$$

Warum dieser Schritt? Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist der Kehrwert seines Arguments. Hier ist das Argument genau die Ableitungsvariable.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{x}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{4\,x\,\ln\left(x\right) - x^{2} \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,}}}}{4\,\ln\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des natürlichen Logarithmus
$$\frac{4\,x\,\ln\left(x\right) - x^{2} \cdot 2 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}}{4\,\ln\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 10 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $x^{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{x} \;\Longrightarrow\; \frac{x^{2} \cdot 2}{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{4\,x\,\ln\left(x\right) - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{x}\,}}}}{4\,\ln\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\frac{4\,x\,\ln\left(x\right) - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x^{2} \cdot 2}{x}\,}}}}{4\,\ln\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 11 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $x^{2} \cdot 2 \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{4\,x\,\ln\left(x\right) - \frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2} \cdot 2\,}}}}{x}}{4\,\ln\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\frac{4\,x\,\ln\left(x\right) - \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2}\,}}}}{x}}{4\,\ln\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 12 — Gemeinsamen Faktor kürzen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

Warum dieser Schritt? Derselbe Faktor steht im Zähler und im Nenner. Beim Kürzen werden die Exponenten subtrahiert. Stellen, an denen dieser Faktor 0 ist, bleiben wegen der ursprünglichen Bedingungen ausgeschlossen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{2\,x^{2}}{x} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{4\,x\,\ln\left(x\right) - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2\,x^{2}}{x}\,}}}}{4\,\ln\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Gemeinsamen Faktor kürzen
$$\frac{4\,x\,\ln\left(x\right) - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}}{4\,\ln\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 13 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{4\,x\,\ln\left(x\right) - 2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}}{4\,\ln\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{4\,x\,\ln\left(x\right) - 2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}}{4\,\ln\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 14 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{4\,x\,\ln\left(x\right) - 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}}}{4\,\ln\left(x\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\frac{4\,x\,\ln\left(x\right) - 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}}{4\,\ln\left(x\right)^{2}}$$
Schritt 15 — Gemeinsamen Faktor ausklammern Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u+b\cdot u=u\cdot(a+b)$$

Warum dieser Schritt? Jeder Summand im Zähler enthält denselben Faktor, der auch im Nenner steht. Wir klammern ihn aus, damit wir ihn im nächsten Schritt kürzen können.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{4\,x\,\ln\left(x\right) - 2\,x}{4\,\ln\left(x\right)^{2}}\,}}}$$
✨ Nach Gemeinsamen Faktor ausklammern
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2\,\left(2\,x\,\ln\left(x\right) - x\right)}{4\,\ln\left(x\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 16 — Zahlen kürzen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{k\cdot a}{k\cdot b}=\frac{a}{b}$$

Warum dieser Schritt? Zähler und Nenner enthalten einen gemeinsamen Zahlenfaktor. Wir teilen beide durch diesen Faktor.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2\,\left(2\,x\,\ln\left(x\right) - x\right)}{4\,\ln\left(x\right)^{2}}\,}}}$$
✨ Nach Zahlen kürzen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{2\,x\,\ln\left(x\right) - x}{2\,\ln\left(x\right)^{2}}\,}}}$$
Endergebnis
$$\frac{2\,x\,\ln\left(x\right) - x}{2\,\ln\left(x\right)^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x>0$ – Das Logarithmusargument muss positiv sein.
  • $2\,\ln\left(x\right)\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{x}{\log\left(x\right)} - \frac{x}{2\,\log\left(x\right)^{2}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt