Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{x^{2}}{2\,\ln\left(x\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{x^{2}}{2\,\log\left(x\right)}\right]}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = x^{2}$
- $v = 2\,\log\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{x^{2}}{2\,\log\left(x\right)}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \cdot 2\,\log\left(x\right) - x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,\log\left(x\right)\right]}}{\left(2\,\log\left(x\right)\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel (Spezialfall)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}} \cdot 2\,\log\left(x\right) - x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,\log\left(x\right)\right]}}{\left(2\,\log\left(x\right)\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}} \cdot 2\,\log\left(x\right) - x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,\log\left(x\right)\right]}}{\left(2\,\log\left(x\right)\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,x^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}\,\log\left(x\right)\,} - x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,\log\left(x\right)\right]}}{\left(2\,\log\left(x\right)\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Faktorregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
- $c = 2$
- $u = \log\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{4\,x\,\log\left(x\right) - x^{2} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,\log\left(x\right)\right]}\,}}}}{\left(2\,\log\left(x\right)\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\frac{4\,x\,\log\left(x\right) - x^{2} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}\,}}}}{\left(2\,\log\left(x\right)\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Ableitung des Logarithmus
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\log(x)) = \frac{1}{x}$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{4\,x\,\log\left(x\right) - x^{2} \cdot 2 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}\,}}}}{\left(2\,\log\left(x\right)\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Logarithmus
$$\frac{4\,x\,\log\left(x\right) - x^{2} \cdot 2 \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}}{\left(2\,\log\left(x\right)\right)^{2}}$$
🧹 Vereinfacht
$$\frac{4\,x\,\log\left(x\right) - \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2} \cdot \frac{1}{x}\,}}{\left(2\,\log\left(x\right)\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{x}{\log\left(x\right)} - \frac{x}{2 \cdot \log\left(x\right)^{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$\frac{x}{\log\left(x\right)} - \frac{x}{2 \cdot \log\left(x\right)^{2}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)