Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{x^{2}}{\mathrm{e}^{-x}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{x^{2}}{\mathrm{e}^{-x}}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Quotientenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
  • $u = x^{2}$
  • $v = \mathrm{e}^{-x}$

Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{x^{2}}{\mathrm{e}^{-x}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,\mathrm{e}^{-x} - x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}\,\mathrm{e}^{-x} - x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}\,\mathrm{e}^{-x} - x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}\,\mathrm{e}^{-x} - x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\,\mathrm{e}^{-x} - x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}}\,\mathrm{e}^{-x} - x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\frac{2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}\,\mathrm{e}^{-x} - x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = -x$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x\,\mathrm{e}^{-x} - x^{2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\frac{2\,x\,\mathrm{e}^{-x} - x^{2}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Ableitung eines negativen Terms Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(-u) = -u'$$
Mit:
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Das Minuszeichen bleibt erhalten. Wir leiten anschließend den Ausdruck dahinter ab.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[-x\right]} \;\Longrightarrow\; -\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x\,\mathrm{e}^{-x} - x^{2}\,\mathrm{e}^{-x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung eines negativen Terms
$$\frac{2\,x\,\mathrm{e}^{-x} - x^{2}\,\mathrm{e}^{-x}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}}$$
Schritt 7 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x\,\mathrm{e}^{-x} - x^{2}\,\mathrm{e}^{-x}\,\left(-\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{2\,x\,\mathrm{e}^{-x} - x^{2}\,\mathrm{e}^{-x}\,\left(-\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}}$$
Schritt 8 — Faktor −1 als Minuszeichen schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$(-1)\cdot a=-a$$

Warum dieser Schritt? Multiplizieren mit −1 ergibt die Gegenzahl. Wir schreiben dafür nur ein Minuszeichen.

Nur der geänderte Teil: $x^{2}\,\mathrm{e}^{-x}\,\left(-1\right) \;\Longrightarrow\; -x^{2}\,\mathrm{e}^{-x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{2\,x\,\mathrm{e}^{-x} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2}\,\mathrm{e}^{-x}\,\left(-1\right)\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor −1 als Minuszeichen schreiben
$$\frac{2\,x\,\mathrm{e}^{-x} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-x^{2}\,\mathrm{e}^{-x}\right)\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}}$$
Schritt 9 — Minus mal Minus ergibt Plus Vereinfachung
📖 Regel
$$a-(-b)=a+b$$

Warum dieser Schritt? Wird ein negativer Ausdruck abgezogen, heben sich die beiden Minuszeichen auf.

Nur der geänderte Teil: $2\,x\,\mathrm{e}^{-x} - \left(-x^{2}\,\mathrm{e}^{-x}\right) \;\Longrightarrow\; 2\,x\,\mathrm{e}^{-x} + x^{2}\,\mathrm{e}^{-x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\mathrm{e}^{-x} - \left(-x^{2}\,\mathrm{e}^{-x}\right)\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Minus mal Minus ergibt Plus
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,\mathrm{e}^{-x} + x^{2}\,\mathrm{e}^{-x}\,}}}}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{2\,x\,\mathrm{e}^{-x} + x^{2}\,\mathrm{e}^{-x}}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $\mathrm{e}^{-x}\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\mathrm{e}^{x}\,x^{2} + 2\,\mathrm{e}^{x}\,x$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt