Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$x^{2}\mathrm{e}^{x^{2}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x^{2}}x^{2}\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x^{2}}$
- $v = x^{2}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x^{2}}x^{2}\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x^{2}}\right)}x^{2} + \mathrm{e}^{x^{2}}\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x^{2}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x^{2}}\right)}\,}}}x^{2} + \mathrm{e}^{x^{2}}\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x^{2}}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}}x^{2} + \mathrm{e}^{x^{2}}\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x^{2}}\ln\left(\mathrm{e}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}}x^{2} + \mathrm{e}^{x^{2}}\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\mathrm{e}^{x^{2}}\ln\left(\mathrm{e}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2x^{2 - 1}\,}}}x^{2} + \mathrm{e}^{x^{2}}\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\mathrm{e}^{x^{2}}\ln\left(\mathrm{e}\right)xx^{2}\,}}} + \mathrm{e}^{x^{2}}\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}$$
Schritt 4 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
Aktueller Ausdruck
$$2\mathrm{e}^{x^{2}}\ln\left(\mathrm{e}\right)xx^{2} + \mathrm{e}^{x^{2}}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$2\mathrm{e}^{x^{2}}\ln\left(\mathrm{e}\right)xx^{2} + \mathrm{e}^{x^{2}} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2x^{2 - 1}\,}}}$$
Vereinfacht
$$2\mathrm{e}^{x^{2}}\ln\left(\mathrm{e}\right)xx^{2} + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\mathrm{e}^{x^{2}}x\,}}}$$
Ergebnis
$$2\mathrm{e}^{x^{2}}\ln\left(\mathrm{e}\right)xx^{2} + 2\mathrm{e}^{x^{2}}x$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$2\mathrm{e}^{x^{2}}x^{3} + 2\mathrm{e}^{x^{2}}x$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)