Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$x^{2}\,\mathrm{e}^{x^{2}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\mathrm{e}^{x^{2}}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = x^{2}$
  • $v = \mathrm{e}^{x^{2}}$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\,\mathrm{e}^{x^{2}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,\mathrm{e}^{x^{2}} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x^{2}}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}\,\mathrm{e}^{x^{2}} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x^{2}}\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}\,\mathrm{e}^{x^{2}} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x^{2}}\right]}$$
Schritt 3 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}\,\mathrm{e}^{x^{2}} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x^{2}}\right]}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}\,\mathrm{e}^{x^{2}} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x^{2}}\right]}$$
Schritt 4 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}}\,\mathrm{e}^{x^{2}} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x^{2}}\right]}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}\,\mathrm{e}^{x^{2}} + x^{2}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x^{2}}\right]}$$
Schritt 5 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = x^{2}$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x^{2}}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{x^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}} + x^{2}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{x^{2}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}} + x^{2}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}$$
Schritt 6 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}} + x^{2}\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}} + x^{2}\,\mathrm{e}^{x^{2}} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}}$$
Schritt 7 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}} + x^{2}\,\mathrm{e}^{x^{2}} \cdot 2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}} + x^{2}\,\mathrm{e}^{x^{2}} \cdot 2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}$$
Schritt 8 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}} + x^{2}\,\mathrm{e}^{x^{2}} \cdot 2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}} + x^{2}\,\mathrm{e}^{x^{2}} \cdot 2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}}$$
Schritt 9 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $x^{2}\,\mathrm{e}^{x^{2}} \cdot 2\,x \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2}\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2}\,\mathrm{e}^{x^{2}} \cdot 2\,x\,}}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2}\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,}}}$$
Schritt 10 — Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren Vereinfachung
📖 Regel
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

Warum dieser Schritt? Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert. Ein Faktor ohne sichtbaren Exponenten hat den Exponenten 1.

Nur der geänderte Teil: $2\,x^{2}\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 + 1}\,\mathrm{e}^{x^{2}}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2}\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,}}}$$
✨ Nach Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 + 1}\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,}}}$$
Schritt 11 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 + 1 \;\Longrightarrow\; 3$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}} + 2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 + 1\,}}}}\,\mathrm{e}^{x^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}} + 2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,}}}}\,\mathrm{e}^{x^{2}}$$
Endergebnis
$$2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}} + 2\,x^{3}\,\mathrm{e}^{x^{2}}$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$2\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,x^{3} + 2\,\mathrm{e}^{x^{2}}\,x$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt