Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$x^{2}\sin\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\sin\left(x\right)\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = x^{2}$
- $v = \sin\left(x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\sin\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\sin\left(x\right) + x^{2}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 2$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{2}\right)}\,}}}\sin\left(x\right) + x^{2}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2x^{2 - 1}\,}}}\sin\left(x\right) + x^{2}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2x\sin\left(x\right)\,}}} + x^{2}\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung des Sinus
Regel
$$\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$$
Aktueller Ausdruck
$$2x\sin\left(x\right) + x^{2}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\sin\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung des Sinus
$$2x\sin\left(x\right) + x^{2}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(x\right)\,}}}$$
Ergebnis
$$2x\sin\left(x\right) + x^{2}\cos\left(x\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$2x\sin\left(x\right) + x^{2}\cos\left(x\right)$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)