Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$x^{3}\cos\left(x\right) - \mathrm{e}^{-x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\cos\left(x\right) - \mathrm{e}^{-x}\right)}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x^{3}\cos\left(x\right)$
- $v = \mathrm{e}^{-x}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\cos\left(x\right) - \mathrm{e}^{-x}\right)}\,}}}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\cos\left(x\right)\right)} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = x^{3}$
- $v = \cos\left(x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\cos\left(x\right)\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}\cos\left(x\right) + x^{3}\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)}$$
Schritt 3 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 3$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}\,}}}\cos\left(x\right) + x^{3}\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3x^{3 - 1}\,}}}\cos\left(x\right) + x^{3}\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3x^{2}\cos\left(x\right)\,}}} + x^{3}\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)}$$
Schritt 4 — Ableitung des Kosinus
Regel
$$\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)$$
Aktueller Ausdruck
$$3x^{2}\cos\left(x\right) + x^{3}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)}$$
Nach Ableitung des Kosinus
$$3x^{2}\cos\left(x\right) + x^{3}\left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(x\right)\,}}}\right) - \frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)}$$
Schritt 5 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = -x$
Aktueller Ausdruck
$$3x^{2}\cos\left(x\right) + x^{3}\left(-\sin\left(x\right)\right) - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{-x}\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$3x^{2}\cos\left(x\right) + x^{3}\left(-\sin\left(x\right)\right) - \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(-x\right)}\,}}}$$
Schritt 6 —
Regel
$$$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$3x^{2}\cos\left(x\right) + x^{3}\left(-\sin\left(x\right)\right) - \mathrm{e}^{-x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(-x\right)}\,}}}$$
Nach
$$3x^{2}\cos\left(x\right) + x^{3}\left(-\sin\left(x\right)\right) - \mathrm{e}^{-x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\right)$$
Schritt 7 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$3x^{2}\cos\left(x\right) + x^{3}\left(-\sin\left(x\right)\right) - \mathrm{e}^{-x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\left(-\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\right)$$
Nach Ableitung der Variablen
$$3x^{2}\cos\left(x\right) + x^{3}\left(-\sin\left(x\right)\right) - \mathrm{e}^{-x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\left(-\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)$$
Vereinfacht
$$3x^{2}\cos\left(x\right) + x^{3}\left(-\sin\left(x\right)\right) - \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\mathrm{e}^{-x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\,}}}$$
Ergebnis
$$3x^{2}\cos\left(x\right) + x^{3}\left(-\sin\left(x\right)\right) - -\mathrm{e}^{-x}\ln\left(\mathrm{e}\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$-x^{3}\sin\left(x\right) + 3x^{2}\cos\left(x\right) + \mathrm{e}^{-x}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)