Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{x^{3}}{x^{2} + 1}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{x^{3}}{x^{2} + 1}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Quotientenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
  • $u = x^{3}$
  • $v = x^{2} + 1$

Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{x^{3}}{x^{2} + 1}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,\left(x^{2} + 1\right) - x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 3$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]} \;\Longrightarrow\; 3\,x^{3 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,}}}\,\left(x^{2} + 1\right) - x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{3 - 1}\,}}}\,\left(x^{2} + 1\right) - x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $3 - 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{3\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 - 1\,}}}}\,\left(x^{2} + 1\right) - x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{3\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}}\,\left(x^{2} + 1\right) - x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = x^{2}$
  • $v = 1$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{3\,x^{2}\,\left(x^{2} + 1\right) - x^{3}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2} + 1\right]}\,}}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\frac{3\,x^{2}\,\left(x^{2} + 1\right) - x^{3}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,}}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 2$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,x^{2 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{3\,x^{2}\,\left(x^{2} + 1\right) - x^{3}\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{2}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{3\,x^{2}\,\left(x^{2} + 1\right) - x^{3}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{2 - 1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 - 1 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{3\,x^{2}\,\left(x^{2} + 1\right) - x^{3}\,\left(2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 - 1\,}}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{3\,x^{2}\,\left(x^{2} + 1\right) - x^{3}\,\left(2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 7 — Potenz mit Exponent 1 Vereinfachung
📖 Regel
$$a^1=a$$

Warum dieser Schritt? Ein Ausdruck hoch 1 ist der Ausdruck selbst.

Nur der geänderte Teil: $x^{1} \;\Longrightarrow\; x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{3\,x^{2}\,\left(x^{2} + 1\right) - x^{3}\,\left(2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{1}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenz mit Exponent 1
$$\frac{3\,x^{2}\,\left(x^{2} + 1\right) - x^{3}\,\left(2\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 8 — Konstantenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 1$

Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{3\,x^{2}\,\left(x^{2} + 1\right) - x^{3}\,\left(2\,x + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\frac{3\,x^{2}\,\left(x^{2} + 1\right) - x^{3}\,\left(2\,x + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 9 — Null als Summand entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.

Nur der geänderte Teil: $2\,x + 0 \;\Longrightarrow\; 2\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{3\,x^{2}\,\left(x^{2} + 1\right) - x^{3}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x + 0\right)\,}}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$\frac{3\,x^{2}\,\left(x^{2} + 1\right) - x^{3} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x\,}}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 10 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $x^{3} \cdot 2\,x \;\Longrightarrow\; 2\,x^{3}\,x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{3\,x^{2}\,\left(x^{2} + 1\right) - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{3} \cdot 2\,x\,}}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\frac{3\,x^{2}\,\left(x^{2} + 1\right) - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{3}\,x\,}}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 11 — Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren Vereinfachung
📖 Regel
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

Warum dieser Schritt? Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert. Ein Faktor ohne sichtbaren Exponenten hat den Exponenten 1.

Nur der geänderte Teil: $2\,x^{3}\,x \;\Longrightarrow\; 2\,x^{3 + 1}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{3\,x^{2}\,\left(x^{2} + 1\right) - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{3}\,x\,}}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren
$$\frac{3\,x^{2}\,\left(x^{2} + 1\right) - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,x^{3 + 1}\,}}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 12 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $3 + 1 \;\Longrightarrow\; 4$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{3\,x^{2}\,\left(x^{2} + 1\right) - 2\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 + 1\,}}}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{3\,x^{2}\,\left(x^{2} + 1\right) - 2\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 13 — Ausmultiplizieren Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$

Warum dieser Schritt? Mit dem Distributivgesetz multiplizieren wir jeden Summanden der Klammer mit den übrigen Faktoren. Danach können gleichartige Terme zusammengefasst werden.

Nur der geänderte Teil: $3\,x^{2}\,\left(x^{2} + 1\right) - 2\,x^{4} \;\Longrightarrow\; 3\,x^{2}\,x^{2} + 3\,x^{2} \cdot 1 - 2\,x^{4}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{2}\,\left(x^{2} + 1\right) - 2\,x^{4}\,}}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Ausmultiplizieren
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{2}\,x^{2} + 3\,x^{2} \cdot 1 - 2\,x^{4}\,}}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 14 — Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren Vereinfachung
📖 Regel
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

Warum dieser Schritt? Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert. Ein Faktor ohne sichtbaren Exponenten hat den Exponenten 1.

Nur der geänderte Teil: $3\,x^{2}\,x^{2} \;\Longrightarrow\; 3\,x^{2 + 2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{2}\,x^{2}\,}}} + 3\,x^{2} \cdot 1 - 2\,x^{4}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{2 + 2}\,}}} + 3\,x^{2} \cdot 1 - 2\,x^{4}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 15 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 + 2 \;\Longrightarrow\; 4$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{3\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 + 2\,}}}} + 3\,x^{2} \cdot 1 - 2\,x^{4}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{3\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}}} + 3\,x^{2} \cdot 1 - 2\,x^{4}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 16 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $3\,x^{2} \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 3\,x^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{3\,x^{4} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{2} \cdot 1\,}}} - 2\,x^{4}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{3\,x^{4} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{2}\,}}} - 2\,x^{4}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 17 — Gleichartige Terme zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\pm b\cdot u=(a\pm b)\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beide Summanden haben denselben variablen Teil. Wir klammern ihn aus und schreiben die Summe oder Differenz der Zahlenfaktoren davor. Diese Zahlenrechnung folgt im nächsten Schritt.

Nur der geänderte Teil: $3\,x^{4} + 3\,x^{2} - 2\,x^{4} \;\Longrightarrow\; \left(3 - 2\right)\,x^{4} + 3\,x^{2}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{4} + 3\,x^{2} - 2\,x^{4}\,}}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Gleichartige Terme zusammenfassen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(3 - 2\right)\,x^{4} + 3\,x^{2}\,}}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 18 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $3 - 2 \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(3 - 2\right)\,}}}\,x^{4} + 3\,x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,x^{4} + 3\,x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Schritt 19 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $1\,x^{4} \;\Longrightarrow\; x^{4}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,x^{4}\,}}} + 3\,x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{4}\,}}} + 3\,x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{x^{4} + 3\,x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x^{2} + 1\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{3\,x^{2}}{x^{2} + 1} - \frac{2\,x^{4}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt