Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$\frac{x^{3}}{2^{x}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\frac{x^{3}}{2^{x}}\right)}$$
Schritt 1 — Quotientenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
- $u = x^{3}$
- $v = 2^{x}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\frac{x^{3}}{2^{x}}\right)}\,}}}$$
Nach Quotientenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}2^{x} - x^{3}\frac{d}{dx}{\left(2^{x}\right)}}{\left(2^{x}\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 3$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}\,}}}2^{x} - x^{3}\frac{d}{dx}{\left(2^{x}\right)}}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{3 - 1}\,}}}2^{x} - x^{3}\frac{d}{dx}{\left(2^{x}\right)}}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
Vereinfacht
$$\frac{3\,\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{2}\,}}}2^{x} - x^{3}\frac{d}{dx}{\left(2^{x}\right)}}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Kettenregel (Exponentialfunktion, konstante Basis)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(a^{u}\right)=a^{u}\,\ln(a)\,u'$$
Mit:
- $a = 2$
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{3\,x^{2}2^{x} - x^{3}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(2^{x}\right)}\,}}}}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
Nach Kettenregel (Exponentialfunktion, konstante Basis)
$$\frac{3\,x^{2}2^{x} - x^{3}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{x}\ln\left(2\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\frac{3\,x^{2}2^{x} - x^{3}2^{x}\ln\left(2\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{3\,x^{2}2^{x} - x^{3}2^{x}\ln\left(2\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
Vereinfacht
$$\frac{3\,x^{2}2^{x} - x^{3} \cdot \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{x}\,}}}\ln\left(2\right)}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
Ergebnis
$$\frac{3\,x^{2}2^{x} - x^{3}2^{x}\ln\left(2\right)}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\frac{3\,x^{2}}{2^{x}} - \frac{\log\left(2\right)x^{3}}{2^{x}}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)