Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{x^{3}}{2^{x}}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{x^{3}}{2^{x}}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Quotientenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
  • $u = x^{3}$
  • $v = 2^{x}$

Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{x^{3}}{2^{x}}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]} \cdot 2^{x} - x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}}{\left(2^{x}\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 3$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]} \;\Longrightarrow\; 3\,x^{3 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,}}} \cdot 2^{x} - x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{3 - 1}\,}}} \cdot 2^{x} - x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $3 - 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{3\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 - 1\,}}}} \cdot 2^{x} - x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{3\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}} \cdot 2^{x} - x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Kettenregel (Exponentialfunktion, konstante Basis) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(a^{u}\right)=a^{u}\,\ln(a)\,u'$$
Mit:
  • $a = 2$
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Die Basis ist konstant, der Exponent hängt von x ab. Die Potenz bleibt erhalten; hinzu kommen der natürliche Logarithmus der Basis und die Ableitung des Exponenten.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]} \;\Longrightarrow\; 2^{x}\,\ln\left(2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{3\,x^{2} \cdot 2^{x} - x^{3}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2^{x}\right]}\,}}}}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Kettenregel (Exponentialfunktion, konstante Basis)
$$\frac{3\,x^{2} \cdot 2^{x} - x^{3} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{x}\,\ln\left(2\right)\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{3\,x^{2} \cdot 2^{x} - x^{3} \cdot 2^{x}\,\ln\left(2\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\frac{3\,x^{2} \cdot 2^{x} - x^{3} \cdot 2^{x}\,\ln\left(2\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $2^{x}\,\ln\left(2\right) \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 2^{x}\,\ln\left(2\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{3\,x^{2} \cdot 2^{x} - x^{3} \cdot \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{x}\,\ln\left(2\right) \cdot 1\,}}}}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\frac{3\,x^{2} \cdot 2^{x} - x^{3} \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2^{x}\,\ln\left(2\right)\,}}}}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
Schritt 7 — Faktoren ordnen Vereinfachung
📖 Regel
$$u\cdot c=c\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beim Multiplizieren darf die Reihenfolge der Faktoren geändert werden (Kommutativgesetz). Üblich ist: Zahl, dann Konstanten, dann Potenzen der Variablen, dann die übrigen Faktoren.

Nur der geänderte Teil: $x^{3} \cdot 2^{x}\,\ln\left(2\right) \;\Longrightarrow\; \ln\left(2\right)\,x^{3} \cdot 2^{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{3\,x^{2} \cdot 2^{x} - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{3} \cdot 2^{x}\,\ln\left(2\right)\,}}}}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
✨ Nach Faktoren ordnen
$$\frac{3\,x^{2} \cdot 2^{x} - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(2\right)\,x^{3} \cdot 2^{x}\,}}}}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{3\,x^{2} \cdot 2^{x} - \ln\left(2\right)\,x^{3} \cdot 2^{x}}{\left(2^{x}\right)^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $2^{x}\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{3\,x^{2}}{2^{x}} - \frac{\log\left(2\right)\,x^{3}}{2^{x}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt