Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\frac{x^{3}}{\sin\left(\ln\left(x\right)\right)}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\frac{x^{3}}{\sin\left(\ln\left(x\right)\right)}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Quotientenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$$
Mit:
  • $u = x^{3}$
  • $v = \sin\left(\ln\left(x\right)\right)$

Warum dieser Schritt? Im Zähler steht: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners. Darunter steht der Nenner zum Quadrat. Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\frac{x^{3}}{\sin\left(\ln\left(x\right)\right)}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Quotientenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,\sin\left(\ln\left(x\right)\right) - x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(\ln\left(x\right)\right)\right]}}{\sin\left(\ln\left(x\right)\right)^{2}}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel (Spezialfall) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
  • $u = x$
  • $c = 3$

Warum dieser Schritt? Der bisherige Exponent kommt als Faktor nach vorne. Im Exponenten ziehen wir 1 ab. Diese kleine Rechnung folgt als eigener Schritt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]} \;\Longrightarrow\; 3\,x^{3 - 1}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{3}\right]}\,}}}\,\sin\left(\ln\left(x\right)\right) - x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(\ln\left(x\right)\right)\right]}}{\sin\left(\ln\left(x\right)\right)^{2}}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,x^{3 - 1}\,}}}\,\sin\left(\ln\left(x\right)\right) - x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(\ln\left(x\right)\right)\right]}}{\sin\left(\ln\left(x\right)\right)^{2}}$$
Schritt 3 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $3 - 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{3\,x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 - 1\,}}}}\,\sin\left(\ln\left(x\right)\right) - x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(\ln\left(x\right)\right)\right]}}{\sin\left(\ln\left(x\right)\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{3\,x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}}\,\sin\left(\ln\left(x\right)\right) - x^{3}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(\ln\left(x\right)\right)\right]}}{\sin\left(\ln\left(x\right)\right)^{2}}$$
Schritt 4 — Ableitung des Sinus (Kettenregel) Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\sin\left(u\right)=\cos\left(u\right)\cdot u'$$
Mit:
  • $u = \ln\left(x\right)$

Warum dieser Schritt? Wir unterscheiden die äußere Funktion und das innere Argument u. Zuerst leiten wir außen ab und setzen u unverändert ein. Danach multiplizieren wir mit u′. Diese innere Ableitung bleibt für einen eigenen Schritt sichtbar.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(\ln\left(x\right)\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \cos\left(\ln\left(x\right)\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{3\,x^{2}\,\sin\left(\ln\left(x\right)\right) - x^{3}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\sin\left(\ln\left(x\right)\right)\right]}\,}}}}{\sin\left(\ln\left(x\right)\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des Sinus (Kettenregel)
$$\frac{3\,x^{2}\,\sin\left(\ln\left(x\right)\right) - x^{3}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\cos\left(\ln\left(x\right)\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,}}}}{\sin\left(\ln\left(x\right)\right)^{2}}$$
Schritt 5 — Ableitung des natürlichen Logarithmus Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x}$$

Warum dieser Schritt? Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist der Kehrwert seines Arguments. Hier ist das Argument genau die Ableitungsvariable.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{1}{x}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{3\,x^{2}\,\sin\left(\ln\left(x\right)\right) - x^{3}\,\cos\left(\ln\left(x\right)\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\ln\left(x\right)\right]}\,}}}}{\sin\left(\ln\left(x\right)\right)^{2}}$$
✨ Nach Ableitung des natürlichen Logarithmus
$$\frac{3\,x^{2}\,\sin\left(\ln\left(x\right)\right) - x^{3}\,\cos\left(\ln\left(x\right)\right) \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}}{\sin\left(\ln\left(x\right)\right)^{2}}$$
Schritt 6 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $x^{3}\,\cos\left(\ln\left(x\right)\right) \cdot \frac{1}{x} \;\Longrightarrow\; \frac{x^{3}\,\cos\left(\ln\left(x\right)\right)}{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{3\,x^{2}\,\sin\left(\ln\left(x\right)\right) - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{3}\,\cos\left(\ln\left(x\right)\right) \cdot \frac{1}{x}\,}}}}{\sin\left(\ln\left(x\right)\right)^{2}}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$\frac{3\,x^{2}\,\sin\left(\ln\left(x\right)\right) - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x^{3}\,\cos\left(\ln\left(x\right)\right)}{x}\,}}}}{\sin\left(\ln\left(x\right)\right)^{2}}$$
Schritt 7 — Gemeinsamen Faktor kürzen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

Warum dieser Schritt? Derselbe Faktor steht im Zähler und im Nenner. Beim Kürzen werden die Exponenten subtrahiert. Stellen, an denen dieser Faktor 0 ist, bleiben wegen der ursprünglichen Bedingungen ausgeschlossen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{x^{3}\,\cos\left(\ln\left(x\right)\right)}{x} \;\Longrightarrow\; x^{3 - 1}\,\cos\left(\ln\left(x\right)\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{3\,x^{2}\,\sin\left(\ln\left(x\right)\right) - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x^{3}\,\cos\left(\ln\left(x\right)\right)}{x}\,}}}}{\sin\left(\ln\left(x\right)\right)^{2}}$$
✨ Nach Gemeinsamen Faktor kürzen
$$\frac{3\,x^{2}\,\sin\left(\ln\left(x\right)\right) - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{3 - 1}\,\cos\left(\ln\left(x\right)\right)\,}}}}{\sin\left(\ln\left(x\right)\right)^{2}}$$
Schritt 8 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $3 - 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\frac{3\,x^{2}\,\sin\left(\ln\left(x\right)\right) - x^{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3 - 1\,}}}}\,\cos\left(\ln\left(x\right)\right)}{\sin\left(\ln\left(x\right)\right)^{2}}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\frac{3\,x^{2}\,\sin\left(\ln\left(x\right)\right) - x^{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}}\,\cos\left(\ln\left(x\right)\right)}{\sin\left(\ln\left(x\right)\right)^{2}}$$
Endergebnis
$$\frac{3\,x^{2}\,\sin\left(\ln\left(x\right)\right) - x^{2}\,\cos\left(\ln\left(x\right)\right)}{\sin\left(\ln\left(x\right)\right)^{2}}$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x>0$ – Das Logarithmusargument muss positiv sein.
  • $\sin\left(\ln\left(x\right)\right)\ne0$ – Der ursprüngliche Nenner darf nicht 0 sein.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$\frac{3\,x^{2}}{\sin\left(\log\left(x\right)\right)} - \frac{x^{2}\,\cos\left(\log\left(x\right)\right)}{\sin\left(\log\left(x\right)\right)^{2}}$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt