Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$x^{3}\mathrm{e}^{x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}x^{3}\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = \mathrm{e}^{x}$
- $v = x^{3}$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}x^{3}\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}x^{3} + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Ableitung der Exponentialfunktion
Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\mathrm{e}^{x}\right)}\,}}}x^{3} + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}$$
Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}x^{3} + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}x^{3} + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right) \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}x^{3} + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{x}\,}}}\ln\left(\mathrm{e}\right)x^{3} + \mathrm{e}^{x}\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}$$
Schritt 4 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 3$
Aktueller Ausdruck
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x^{3} + \mathrm{e}^{x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{3}\right)}\,}}}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x^{3} + \mathrm{e}^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3x^{3 - 1}\,}}}$$
Vereinfacht
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x^{3} + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\mathrm{e}^{x}x^{2}\,}}}$$
Ergebnis
$$\mathrm{e}^{x}\ln\left(\mathrm{e}\right)x^{3} + 3\mathrm{e}^{x}x^{2}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$\mathrm{e}^{x}x^{3} + 3\mathrm{e}^{x}x^{2}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)