Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$x^{5}\,\cos\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x^{5}\,\cos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 1 — Produktregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = x^{5}$
- $v = \cos\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{5}\,\cos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{5}\right]}\,\cos\left(x\right) + x^{5}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel (Spezialfall)
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 5$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{5}\right]}\,}}}\,\cos\left(x\right) + x^{5}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,5\,x^{5 - 1}\,}}}\,\cos\left(x\right) + x^{5}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$5\,x^{\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,4\,}}\,\cos\left(x\right) + x^{5}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung des Kosinus
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$5\,x^{4}\,\cos\left(x\right) + x^{5} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\cos\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Kosinus
$$5\,x^{4}\,\cos\left(x\right) + x^{5} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(x\right)\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$5\,x^{4}\,\cos\left(x\right) + \bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-x^{5}\,\sin\left(x\right)\,}$$
Endergebnis
$$5 \cdot \cos\left(x\right)\,x^{4} - x^{5}\,\sin\left(x\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$5 \cdot \cos\left(x\right)\,x^{4} - x^{5}\,\sin\left(x\right)$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)