Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$x^{5}\cos\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(x^{5}\cos\left(x\right)\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = x^{5}$
- $v = \cos\left(x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{5}\cos\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{5}\right)}\cos\left(x\right) + x^{5}\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Potenzregel (Spezialfall)
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{c}\right)=c\,u^{c-1}$$
Mit:
- $u = x$
- $c = 5$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{5}\right)}\,}}}\cos\left(x\right) + x^{5}\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}$$
Nach Potenzregel (Spezialfall)
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,5x^{5 - 1}\,}}}\cos\left(x\right) + x^{5}\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}$$
Vereinfacht
$$\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,5x^{4}\cos\left(x\right)\,}}} + x^{5}\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung des Kosinus
Regel
$$\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)$$
Aktueller Ausdruck
$$5x^{4}\cos\left(x\right) + x^{5}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\cos\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Ableitung des Kosinus
$$5x^{4}\cos\left(x\right) + x^{5}\left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,-\sin\left(x\right)\,}}}\right)$$
Ergebnis
$$5x^{4}\cos\left(x\right) + x^{5}\left(-\sin\left(x\right)\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$5x^{4}\cos\left(x\right) - x^{5}\sin\left(x\right)$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)