Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$x^{x}\ln\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(x^{x}\log\left(x\right)\right)}$$
Schritt 1 — Produktregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = x^{x}$
- $v = \log\left(x\right)$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{x}\log\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{x}\right)}\log\left(x\right) + x^{x}\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Allgemeine Potenzregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{v}\right)=u^{v}\,\big(v'\,\ln(u)+\frac{v\,u'}{u}\big)$$
Mit:
- $u = x$
- $v = x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{x}\right)}\,}}}\log\left(x\right) + x^{x}\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}$$
Nach Allgemeine Potenzregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{x} \cdot \left(\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x}\right)\,}}}\log\left(x\right) + x^{x}\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$x^{x} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x}\right)\log\left(x\right) + x^{x}\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$x^{x} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x}\right)\log\left(x\right) + x^{x}\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}$$
Vereinfacht
$$x^{x} \cdot \left(\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(x\right)\,}}} + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x}\right)\log\left(x\right) + x^{x}\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$x^{x} \cdot \left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}}{x}\right)\log\left(x\right) + x^{x}\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$x^{x} \cdot \left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{x}\right)\log\left(x\right) + x^{x}\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}$$
Schritt 5 — Kettenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}f(u)=f'(u)\cdot u'$$
Mit:
- $u = x$
Aktueller Ausdruck
$$x^{x} \cdot \left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{1}{x}\right)\log\left(x\right) + x^{x}\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(\log\left(x\right)\right)}\,}}}$$
Nach Kettenregel
$$x^{x} \cdot \left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{1}{x}\right)\log\left(x\right) + x^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}$$
Ergebnis
$$x^{x} \cdot \left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{1}{x}\right)\log\left(x\right) + x^{x} \cdot \frac{1}{x}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$x^{x}\log\left(x\right)\left(\log\left(x\right) + 1\right) + x^{x - 1}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)