Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$x^{x}\,\ln\left(x\right)$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x^{x}\,\log\left(x\right)\right]}$$
Schritt 1 — Produktregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
- $u = x^{x}$
- $v = \log\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{x}\,\log\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{x}\right]}\,\log\left(x\right) + x^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Allgemeine Potenzregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{v}\right)=u^{v}\,\big(v'\,\ln(u)+\frac{v\,u'}{u}\big)$$
Mit:
- $u = x$
- $v = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{x}\right]}\,}}}\,\log\left(x\right) + x^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Allgemeine Potenzregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{x} \cdot \left(\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x}\right)\,}}}\,\log\left(x\right) + x^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$x^{x} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x}\right)\,\log\left(x\right) + x^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$x^{x} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x}\right)\,\log\left(x\right) + x^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$x^{x} \cdot \left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x}\right)\,\log\left(x\right) + x^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$x^{x} \cdot \left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{x}\right)\,\log\left(x\right) + x^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$x^{x} \cdot \left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{x}\right)\,\log\left(x\right) + x^{x}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}$$
Schritt 5 — Ableitung des Logarithmus
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(\log(x)) = \frac{1}{x}$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$x^{x} \cdot \left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{1}{x}\right)\,\log\left(x\right) + x^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\log\left(x\right)\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung des Logarithmus
$$x^{x} \cdot \left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{1}{x}\right)\,\log\left(x\right) + x^{x} \cdot \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{1}{x}\,}}}$$
Endergebnis
$$x^{x} \cdot \log\left(x\right)^{2} + x^{x}\,\log\left(x\right) + x^{x - 1}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$x^{x}\,\log\left(x\right)\,\left(\log\left(x\right) + 1\right) + x^{x - 1}$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)