Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$x^{x} + 5$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left(x^{x} + 5\right)}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x^{x}$
- $v = 5$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{x} + 5\right)}\,}}}$$
Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{x}\right)} + \frac{d}{dx}{\left(5\right)}\,}}}$$
Schritt 2 — Allgemeine Potenzregel
Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{v}\right)=u^{v}\,\big(v'\,\ln(u)+\frac{v\,u'}{u}\big)$$
Mit:
- $u = x$
- $v = x$
Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x^{x}\right)}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(5\right)}$$
Nach Allgemeine Potenzregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{x} \cdot \left(\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x}\right)\,}}} + \frac{d}{dx}{\left(5\right)}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$x^{x} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x}\right) + \frac{d}{dx}{\left(5\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$x^{x} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x}\right) + \frac{d}{dx}{\left(5\right)}$$
Vereinfacht
$$x^{x} \cdot \left(\bbox[lightgreen, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(x\right)\,}}} + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left(x\right)}}{x}\right) + \frac{d}{dx}{\left(5\right)}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
Aktueller Ausdruck
$$x^{x} \cdot \left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(x\right)}\,}}}}{x}\right) + \frac{d}{dx}{\left(5\right)}$$
Nach Ableitung der Variablen
$$x^{x} \cdot \left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{x}\right) + \frac{d}{dx}{\left(5\right)}$$
Schritt 5 — Konstantenregel
Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 5$
Aktueller Ausdruck
$$x^{x} \cdot \left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{1}{x}\right) + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left(5\right)}\,}}}$$
Nach Konstantenregel
$$x^{x} \cdot \left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{1}{x}\right) + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}$$
Vereinfacht
$$x^{x} \cdot \left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{1}{x}\right)$$
Ergebnis
$$x^{x} \cdot \left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{1}{x}\right)$$
Direkt berechnet (Maxima)
Ableitung der Eingabefunktion via Maxima:
$$x^{x}\left(\log\left(x\right) + 1\right)$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima:
gleich (true)