Lösung zur Ableitung der Formel
Eingabefunktion
$$x^{x} + 5$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x^{x} + 5\right]}$$
Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
- $u = x^{x}$
- $v = 5$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{x} + 5\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{x}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[5\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Allgemeine Potenzregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{v}\right)=u^{v}\,\big(v'\,\ln(u)+\frac{v\,u'}{u}\big)$$
Mit:
- $u = x$
- $v = x$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{x}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[5\right]}$$
✨ Nach Allgemeine Potenzregel
$$\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{x} \cdot \left(\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x}\right)\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[5\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$x^{x} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x}\right) + \frac{d}{dx}{\left[5\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$x^{x} \cdot \left(\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x}\right) + \frac{d}{dx}{\left[5\right]}$$
🧹 Vereinfacht
$$x^{x} \cdot \left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x}\right) + \frac{d}{dx}{\left[5\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$x^{x} \cdot \left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{x}\right) + \frac{d}{dx}{\left[5\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$x^{x} \cdot \left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{x}\right) + \frac{d}{dx}{\left[5\right]}$$
Schritt 5 — Konstantenregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
- $c = 5$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$x^{x} \cdot \left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{1}{x}\right) + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[5\right]}\,}}}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$x^{x} \cdot \left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{1}{x}\right) + \bbox[yellow, padding:0.12em 0.22em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}$$
🧹 Vereinfacht
$$x^{x} \cdot \left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{1}{x}\right)$$
Endergebnis
$$x^{x}\,\log\left(x\right) + x^{x}$$
Direkt berechnet (Maxima)
Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:
$$x^{x}\,\left(\log\left(x\right) + 1\right)$$
Abgleich Schrittfolge ↔︎ Maxima: gleich (true)