Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$x^{x} + 5$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[x^{x} + 5\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = x^{x}$
  • $v = 5$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{x} + 5\right]}\,}}}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{x}\right]} + \frac{d}{dx}{\left[5\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Allgemeine Potenzregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}\left(u^{v}\right)=u^{v}\,\big(v'\,\ln(u)+\frac{v\,u'}{u}\big)$$
Mit:
  • $u = x$
  • $v = x$

Warum dieser Schritt? Sowohl Basis als auch Exponent hängen von x ab. Beide Änderungen tragen zur Ableitung bei. Die angegebene reelle Formel setzt eine positive Basis voraus.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x^{x}\right]} \;\Longrightarrow\; x^{x}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x}\right)$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x^{x}\right]}\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[5\right]}$$
✨ Nach Allgemeine Potenzregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{x}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x}\right)\,}}} + \frac{d}{dx}{\left[5\right]}$$
Schritt 3 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$x^{x}\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\,\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x}\right) + \frac{d}{dx}{\left[5\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$x^{x}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\,\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x}\right) + \frac{d}{dx}{\left[5\right]}$$
Schritt 4 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $1\,\ln\left(x\right) \;\Longrightarrow\; \ln\left(x\right)$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$x^{x}\,\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,\ln\left(x\right)\,}}} + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x}\right) + \frac{d}{dx}{\left[5\right]}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$x^{x}\,\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\ln\left(x\right)\,}}} + x \cdot \frac{\frac{d}{dx}{\left[x\right]}}{x}\right) + \frac{d}{dx}{\left[5\right]}$$
Schritt 5 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$x^{x}\,\left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}}{x}\right) + \frac{d}{dx}{\left[5\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$x^{x}\,\left(\ln\left(x\right) + x \cdot \frac{\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}}{x}\right) + \frac{d}{dx}{\left[5\right]}$$
Schritt 6 — Zu einem Bruch zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot\frac{b}{c}=\frac{a\cdot b}{c}$$

Warum dieser Schritt? Ein Faktor vor einem Bruch wird mit dem Zähler multipliziert. So entsteht ein einziger Bruch.

Nur der geänderte Teil: $x \cdot \frac{1}{x} \;\Longrightarrow\; \frac{x}{x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$x^{x}\,\left(\ln\left(x\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x \cdot \frac{1}{x}\,}}}\right) + \frac{d}{dx}{\left[5\right]}$$
✨ Nach Zu einem Bruch zusammenfassen
$$x^{x}\,\left(\ln\left(x\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x}{x}\,}}}\right) + \frac{d}{dx}{\left[5\right]}$$
Schritt 7 — Gemeinsamen Faktor kürzen Vereinfachung
📖 Regel
$$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$$

Warum dieser Schritt? Derselbe Faktor steht im Zähler und im Nenner. Beim Kürzen werden die Exponenten subtrahiert. Stellen, an denen dieser Faktor 0 ist, bleiben wegen der ursprünglichen Bedingungen ausgeschlossen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{x}{x} \;\Longrightarrow\; 1$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$x^{x}\,\left(\ln\left(x\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{x}{x}\,}}}\right) + \frac{d}{dx}{\left[5\right]}$$
✨ Nach Gemeinsamen Faktor kürzen
$$x^{x}\,\left(\ln\left(x\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right) + \frac{d}{dx}{\left[5\right]}$$
Schritt 8 — Konstantenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 5$

Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[5\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$x^{x}\,\left(\ln\left(x\right) + 1\right) + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[5\right]}\,}}}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$x^{x}\,\left(\ln\left(x\right) + 1\right) + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}$$
Schritt 9 — Null als Summand entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{x}\,\left(\ln\left(x\right) + 1\right) + 0\,}}}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,x^{x}\,\left(\ln\left(x\right) + 1\right)\,}}}$$
Endergebnis
$$x^{x}\,\left(\ln\left(x\right) + 1\right)$$
Bedingungen für diesen Rechenweg
  • $x>0$ – Die allgemeine reelle Potenzregel wird für eine positive Basis verwendet.

Die Formel gilt auf den angegebenen Bereichen. Randstellen und Übergänge benötigen gegebenenfalls eine eigene Prüfung; dies ist keine vollständige Bestimmung des Definitionsbereichs.

Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$x^{x}\,\left(\log\left(x\right) + 1\right)$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt