Ableitung der Arcusfunktionen

↩️ Formeln für Arcussinus, Arcuscosinus und Arcustangens

Für die drei Haupt-Arcusfunktionen gibt es jeweils eine feste Ableitungsformel.

💡 Interessant: Die Ableitung von $\arccos(x)$ ist einfach das Negative der Ableitung von $\arcsin(x)$. Alle diese Formeln werden mit der Ableitungsregel für Umkehrfunktionen hergeleitet.

✏️ Beispiele zur Veranschaulichung

Die häufigste Anwendung dieser Regeln geschieht in Kombination mit der Kettenregel.

Beispiel 1: Mit einem konstanten Faktor

Gegeben ist die Funktion: $f(x) = 5\arcsin(x)$

Der Faktor 5 bleibt nach der Faktorregel erhalten.

Die Ableitung lautet: $f'(x) = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{5}{\sqrt{1-x^2}}$

Beispiel 2: Kombination mit der Summenregel

Gegeben ist die Funktion: $f(x) = \arctan(x) + 2x$

Beide Terme werden einzeln abgeleitet:

• Die Ableitung von $\arctan(x)$ ist $\frac{1}{1+x^2}$.
• Die Ableitung von $2x$ ist $2$.

Das Ergebnis lautet: $f'(x) = \frac{1}{1+x^2} + 2$

Beispiel 3: Kombination mit der Kettenregel

Gegeben ist die Funktion: $f(x) = \arccos(4x)$

Dies ist eine verkettete Funktion:

• Äußere Funktion: $u(x) = \arccos(x) \implies u'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• Innere Funktion: $v(x) = 4x \implies v'(x) = 4$
• Anwendung: $f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-(4x)^2}} \cdot 4$

Die Ableitung lautet: $f'(x) = -\frac{4}{\sqrt{1-16x^2}}$

Beispiel 4: Komplexere Kettenregel

Gegeben ist die Funktion: $f(x) = \arctan(x^2)$

Auch hier greift die Kettenregel:

• Äußere Funktion: $u(x) = \arctan(x) \implies u'(x) = \frac{1}{1+x^2}$
• Innere Funktion: $v(x) = x^2 \implies v'(x) = 2x$
• Anwendung: $f'(x) = \frac{1}{1+(x^2)^2} \cdot 2x$

Die Ableitung lautet: $f'(x) = \frac{2x}{1+x^4}$