Ableitung der Exponentialfunktion

✨ Formeln zur Ableitung von Exponentialfunktionen

Man unterscheidet zwischen der Ableitung der natürlichen e-Funktion und einer allgemeinen Exponentialfunktion mit einer beliebigen Basis $a$.

💡 Allgemeine Exponentialfunktion: Für eine Funktion $f(x) = a^x$ mit einer beliebigen positiven Basis $a$ lautet die Ableitung $f'(x) = a^x \cdot \ln(a)$. Dabei ist $\ln(a)$ der natürliche Logarithmus von $a$. Die Regel für $e^x$ ist nur ein Spezialfall davon, denn $\ln(e)$ ist genau 1.

✏️ Beispiele zur Veranschaulichung

Die Anwendung der Regeln ist unkompliziert und oft mit anderen Ableitungsregeln kombiniert.

Beispiel 1: Einfache e-Funktion mit Faktor

Gegeben ist die Funktion: $f(x) = 5e^x$

Nach der Faktorregel bleibt der konstante Faktor 5 einfach erhalten. Die Ableitung von $e^x$ ist wieder $e^x$.

Die Ableitung lautet: $f'(x) = 5e^x$

Beispiel 2: Kombination mit der Summenregel

Gegeben ist die Funktion: $f(x) = 2e^x + x^3$

Beide Terme werden getrennt voneinander abgeleitet:

• Die Ableitung von $2e^x$ ist $2e^x$.
• Die Ableitung von $x^3$ nach der Potenzregel ist $3x^2$.

Das Ergebnis lautet: $f'(x) = 2e^x + 3x^2$

Beispiel 3: Allgemeine Exponentialfunktion

Gegeben ist die Funktion: $f(x) = 2^x$

Hier verwenden wir die allgemeine Formel $f'(x) = a^x \cdot \ln(a)$ mit der Basis $a=2$.

Die Ableitung lautet: $f'(x) = 2^x \cdot \ln(2)$

$\ln(2)$ ist eine Konstante mit dem Wert $\approx 0.693$.

Beispiel 4: Kombination mit der Kettenregel

Gegeben ist die Funktion: $f(x) = e^{5x}$

Dies ist eine verkettete Funktion:

• Äußere Funktion: $u(x) = e^x \implies u'(x) = e^x$
• Innere Funktion: $v(x) = 5x \implies v'(x) = 5$
• Anwendung der Kettenregel: $f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = e^{5x} \cdot 5$

Die Ableitung lautet: $f'(x) = 5e^{5x}$