Ableitungsrechner

Die Summenregel: Ableiten leicht gemacht

Die Summenregel ist eine der grundlegendsten und wichtigsten Ableitungsregeln. Sie macht das Ableiten von Funktionen, die aus mehreren Teilen bestehen, kinderleicht. Das Prinzip lautet: Leite jeden Teil einzeln ab und addiere die Ergebnisse.

📜 Formel der Summenregel

Wenn eine Funktion $f(x)$ die Summe von zwei Funktionen $u(x)$ und $v(x)$ ist, lautet die Formel:

Gegeben sei die Funktion:

$$ f(x) = u(x) + v(x) $$

Dann ist ihre Ableitung:

$$ f'(x) = u'(x) + v'(x) $$

💡Gut zu wissen: Die Regel gilt genauso für die Subtraktion. Man spricht dann von der Differenzregel: Ist $f(x) = u(x) - v(x)$, so ist die Ableitung $f'(x) = u'(x) - v'(x)$.

🪜 Anwendung in 3 einfachen Schritten

Du kannst die Summenregel immer anwenden, wenn in deiner Funktion Terme durch ein Plus- oder Minuszeichen getrennt sind.

  1. Summanden identifizieren: Zerlege die Funktion in ihre einzelnen Teile (die Summanden), die durch $+$ oder $-$ getrennt sind.
  2. Jeden Summanden einzeln ableiten: Wende auf jeden Teil die bekannten Ableitungsregeln an (z.B. die Potenzregel oder die Ableitung von Konstanten).
  3. Ergebnisse zusammenfügen: Addiere (oder subtrahiere) die einzelnen Ableitungen, um die Gesamtableitung der Funktion zu erhalten.

✏️ Beispiele zur Veranschaulichung

Am besten versteht man die Regel anhand von praktischen Beispielen.

Beispiel 1: Einfache Polynomfunktion

Gegeben ist die Funktion: $f(x) = x^4 + x^2$

  • 1. Identifizieren: $u(x) = x^4$ und $v(x) = x^2$.
  • 2. Einzeln ableiten: Die Ableitung von $u(x)$ ist $u'(x) = 4x^3$. Die Ableitung von $v(x)$ ist $v'(x) = 2x$.
  • 3. Zusammenfügen: $f'(x) = u'(x) + v'(x) = 4x^3 + 2x$.

Das Ergebnis lautet also: $f'(x) = 4x^3 + 2x$

Beispiel 2: Mehrere Terme und Konstanten

Gegeben ist die Funktion: $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7x - 3$

Hier leiten wir jeden Term einzeln ab:

  • Die Ableitung von $2x^3$ ist $6x^2$.
  • Die Ableitung von $-5x^2$ ist $-10x$.
  • Die Ableitung von $7x$ ist $7$.
  • Die Ableitung der Konstante $-3$ ist $0$.

Zusammengesetzt ergibt das die Ableitung: $f'(x) = 6x^2 - 10x + 7$

Beispiel 3: Kombination mit trigonometrischen Funktionen

Gegeben ist die Funktion: $f(x) = \sin(x) + x^3$

  • 1. Identifizieren: $u(x) = \sin(x)$ und $v(x) = x^3$.
  • 2. Einzeln ableiten: Die Ableitung von $u(x)$ ist $u'(x) = \cos(x)$. Die Ableitung von $v(x)$ ist $v'(x) = 3x^2$.
  • 3. Zusammenfügen: $f'(x) = \cos(x) + 3x^2$.

Das Ergebnis lautet: $f'(x) = \cos(x) + 3x^2$