Ableitung der Variable x
Die Ableitung der einfachen Funktion $f(x) = x$ ist eine der grundlegendsten Operationen. Das Ergebnis ist denkbar einfach, aber essenziell für das Verständnis des Ableitungsbegriffs und die Anwendung auf komplexere Polynome.
🎯 Die Regel und ihre Herleitung
Die Ableitung der Funktion $f(x) = x$ ist immer 1.
Für die Funktion:
$$ f(x) = x $$ist die Ableitung eine Konstante:
$$ f'(x) = 1 $$💡 Warum ist das so? Man kann es auf zwei Wegen sehen:
1. Grafisch: Der Graph von $f(x)=x$ ist eine Gerade, die im 45°-Winkel durch den Ursprung verläuft. Die Steigung dieser Geraden ist an jeder Stelle konstant 1.
2. Mit der Potenzregel: Man schreibt $f(x) = x$ als $f(x) = x^1$. Wendet man darauf die Potenzregel an, erhält man: $f'(x) = 1 \cdot x^{1-1} = 1 \cdot x^0 = 1 \cdot 1 = 1$.
✏️ Beispiele zur Veranschaulichung
Am häufigsten tritt diese Regel in Kombination mit anderen Regeln auf.
Beispiel 1: Die Grundfunktion
Gegeben ist die Funktion: $f(x) = x$
Die Ableitung lautet: $f'(x) = 1$
Beispiel 2: Mit einem konstanten Faktor
Gegeben ist die Funktion: $f(x) = 7x$
Nach der Faktorregel bleibt die 7 erhalten, und die Ableitung von $x$ ist 1.
$f'(x) = 7 \cdot 1$
Die Ableitung lautet: $f'(x) = 7$
Beispiel 3: In einer Summe
Gegeben ist die Funktion: $f(x) = x + 5$
Die Terme werden einzeln abgeleitet:
- Die Ableitung von $x$ ist $1$.
- Die Ableitung der Konstante $5$ ist $0$.
Die Ableitung lautet: $f'(x) = 1 + 0 = 1$
Beispiel 4: Als Teil eines Polynoms
Gegeben ist die Funktion: $f(x) = 2x^3 + 6x - 4$
Wir leiten jeden Summanden einzeln ab:
- Die Ableitung von $2x^3$ ist $6x^2$.
- Die Ableitung von $6x$ ist $6$.
- Die Ableitung von $-4$ ist $0$.
Die Ableitung lautet: $f'(x) = 6x^2 + 6$