Ableitungsrechner

Ableitung von Wurzelfunktionen

Für das Ableiten von Wurzeln gibt es keine eigene, neue Regel. Stattdessen wenden wir einen einfachen Trick an: Jede Wurzel kann als Potenz mit einem gebrochenen Exponenten geschrieben werden. Danach lässt sich ganz einfach die bekannte Potenzregel anwenden.

🌿 Formel: Wurzel als Potenz umschreiben

Die Umwandlung von einer Wurzel in eine Potenz ist der entscheidende erste Schritt. Die allgemeine Formel dafür lautet:

Umwandlungsregel

$$ \sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}} $$

Anschließend wird darauf die Potenzregel angewendet:

$$ f'(x) = \frac{m}{n} \cdot x^{\frac{m}{n} - 1} $$

💡 Merke: "Der Exponent im Radikanden kommt in den Zähler, der Wurzelexponent in den Nenner." Für eine einfache Quadratwurzel $\sqrt{x}$ gilt $m=1$ und $n=2$, also ist sie $x^{\frac{1}{2}}$.

✏️ Beispiele zur Veranschaulichung

Anhand dieser Beispiele wird die Methode klar.

Beispiel 1: Die einfache Quadratwurzel

Gegeben ist die Funktion: $f(x) = \sqrt{x}$

  1. 1. In Potenz umschreiben: $f(x) = x^{\frac{1}{2}}$
  2. 2. Potenzregel anwenden: Der Exponent $\frac{1}{2}$ wird vorgezogen und der neue Exponent ist $\frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$.
    $f'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}}$
  3. 3. Zurück in Wurzel schreiben (optional): $f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Die Ableitung lautet: $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Beispiel 2: Kubikwurzel

Gegeben ist die Funktion: $f(x) = \sqrt[3]{x}$

  1. 1. In Potenz umschreiben: $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$
  2. 2. Potenzregel anwenden: $f'(x) = \frac{1}{3} \cdot x^{\frac{1}{3} - 1} = \frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}}$
  3. 3. Zurück in Wurzel schreiben (optional): $f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

Die Ableitung lautet: $f'(x) = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$

Beispiel 3: Kombination mit Faktor

Gegeben ist die Funktion: $f(x) = 5\sqrt{x}$

  1. 1. In Potenz umschreiben: $f(x) = 5x^{\frac{1}{2}}$
  2. 2. Potenz- und Faktorregel anwenden: $f'(x) = 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{5}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}}$

Die Ableitung lautet: $f'(x) = \frac{5}{2\sqrt{x}}$

Beispiel 4: Allgemeinere Wurzel

Gegeben ist die Funktion: $f(x) = \sqrt[5]{x^2}$

  1. 1. In Potenz umschreiben: $f(x) = x^{\frac{2}{5}}$
  2. 2. Potenzregel anwenden: $f'(x) = \frac{2}{5} \cdot x^{\frac{2}{5} - 1} = \frac{2}{5} \cdot x^{-\frac{3}{5}}$

Die Ableitung lautet: $f'(x) = \frac{2}{5\sqrt[5]{x^3}}$