Die Potenzregel: Schnell ableiten mit Hochzahlen

Mit der Potenzregel lassen sich Potenzfunktionen im Handumdrehen ableiten. Die allgemeine Formel gilt für eine Basis $u$ und einen konstanten Exponenten $c$. Der besonders häufige Spezialfall $f(x)=x^n$ vereinfacht sich noch weiter.

⚡️ Allgemeine Formel der Potenzregel

Für eine Funktion der Form $f(x)=u(x)^c$ mit konstantem Exponenten $c$ lautet die Ableitung:

$$ \frac{d}{dx}\!\big(u^c\big)\;=\;c\,u^{\,c-1}\,u' $$

Dabei ist $u'$ die Ableitung des inneren Terms $u(x)$ (Kettenregel).

🎯 Spezialfall: $x^n \rightarrow n\,x^{\,n-1}$

Setzt man $u(x)=x$, dann ist $u'=1$ und der Kettenfaktor entfällt:

$$ \frac{d}{dx}\!\big(x^n\big)\;=\;n\,x^{\,n-1} $$

🪜 Anwendung in zwei Schritten

Exponent vorziehen: aus $x^n$ wird $n\cdot x^{n}$.
Exponent verringern: $n\to n-1$ führt zu $n\cdot x^{n-1}$.

✏️ Beispiele

Beispiel 1: Einfaches Polynom

Gegeben: $f(x)=x^5$.

Exponent vorziehen: $5\cdot x^{5}$
Exponent verringern: $5\cdot x^{4}$

Ergebnis: $f'(x)=5x^4$

Beispiel 2: Konstanter Faktor

$f(x)=4x^3$ (der konstante Faktor bleibt stehen).

Vorziehen: $4\cdot 3 \cdot x^{3}$
Verringern: $4\cdot 3 \cdot x^{2}$

Ergebnis: $f'(x)=12x^2$

Beispiel 3: Wurzeln (rationale Exponenten)

$f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}\;\Rightarrow\;f'(x)=\tfrac{1}{2}\,x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

Beispiel 4: Negative Exponenten

$f(x)=x^{-2}\;\Rightarrow\;f'(x)=-2\,x^{-3}=-\dfrac{2}{x^3}$

🔎 Hinweis bei zusammengesetzten Ausdrücken

Bei $f(x)=\big(u(x)\big)^c$ mit nichttrivialem $u(x)$ muss die allgemeine Formel verwendet werden:

$$ \frac{d}{dx}\!\big(u^c\big)=c\,u^{\,c-1}\,u' $$

Beispiel: $f(x)=\big(\sin x\big)^4 \;\Rightarrow\; f'(x)=4\big(\sin x\big)^3\cdot\cos x$.