Ableitungsrechner

Die Quotientenregel: Brüche richtig ableiten

Die Quotientenregel ist das Werkzeug der Wahl, wenn du Funktionen ableiten musst, die als Bruch geschrieben sind. Sie sieht auf den ersten Blick etwas kompliziert aus, folgt aber immer demselben, einfachen Schema.

➗ Formel der Quotientenregel

Wenn eine Funktion $f(x)$ der Quotient aus zwei Funktionen $u(x)$ (Zähler) und $v(x)$ (Nenner) ist, lautet die Formel:

Gegeben sei die Funktion:

$$ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $$

Dann ist ihre Ableitung:

$$ f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2} $$

💡 Merkhilfe (NAZ-Regel): "Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners, geteilt durch Nenner zum Quadrat." (Man liest die Formel von rechts nach links: $v \cdot u' - u \cdot v'$).

🪜 Anwendung in 4 einfachen Schritten

Mit diesem Vorgehen kannst du die Quotientenregel sicher anwenden.

  1. Zähler und Nenner identifizieren: Bestimme, was $u(x)$ (der Zähler) und was $v(x)$ (der Nenner) ist.
  2. Einzeln ableiten: Bilde die Ableitungen $u'(x)$ und $v'(x)$ separat.
  3. In die Formel einsetzen: Setze $u(x)$, $v(x)$, $u'(x)$ und $v'(x)$ sorgfältig in die Formel ein. Achte besonders auf das Minuszeichen im Zähler!
  4. Ergebnis vereinfachen: Fasse den Zähler zusammen. Den Nenner lässt man oft als Quadrat stehen, ohne ihn auszumultiplizieren.

✏️ Beispiele zur Veranschaulichung

Die Anwendung wird mit diesen Beispielen schnell klar.

Beispiel 1: Einfache gebrochen-rationale Funktion

Gegeben ist die Funktion: $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$

  • 1. Identifizieren: $u(x) = x^2$ (Zähler) und $v(x) = x-1$ (Nenner).
  • 2. Einzeln ableiten: $u'(x) = 2x$ und $v'(x) = 1$.
  • 3. Einsetzen: $f'(x) = \frac{(2x) \cdot (x-1) - (x^2) \cdot (1)}{(x-1)^2}$.
  • 4. Vereinfachen: $f'(x) = \frac{2x^2 - 2x - x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2}$.

Das Ergebnis lautet: $f'(x) = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2}$

Beispiel 2: Mit einer e-Funktion

Gegeben ist die Funktion: $f(x) = \frac{e^x}{x^3}$

  • 1. Identifizieren: $u(x) = e^x$ und $v(x) = x^3$.
  • 2. Einzeln ableiten: $u'(x) = e^x$ und $v'(x) = 3x^2$.
  • 3. Einsetzen: $f'(x) = \frac{e^x \cdot x^3 - e^x \cdot 3x^2}{(x^3)^2}$.
  • 4. Vereinfachen: Im Zähler $e^x \cdot x^2$ ausklammern und mit dem Nenner kürzen. $f'(x) = \frac{e^x \cdot x^2 (x - 3)}{x^6} = \frac{e^x(x-3)}{x^4}$.

Das Ergebnis lautet: $f'(x) = \frac{e^x(x-3)}{x^4}$

Beispiel 3: Mit trigonometrischen Funktionen

Gegeben ist die Funktion: $f(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ (Tangensfunktion)

  • 1. Identifizieren: $u(x) = \sin(x)$ und $v(x) = \cos(x)$.
  • 2. Einzeln ableiten: $u'(x) = \cos(x)$ und $v'(x) = -\sin(x)$.
  • 3. Einsetzen: $f'(x) = \frac{\cos(x) \cdot \cos(x) - \sin(x) \cdot (-\sin(x))}{(\cos(x))^2}$.
  • 4. Vereinfachen: $f'(x) = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)}$. Wegen $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ (Trigonometrischer Pythagoras) vereinfacht sich der Zähler zu 1.

Das Ergebnis lautet: $f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$