Ableitung trigonometrischer Funktionen
Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens sind grundlegende Regeln, die man häufig benötigt. Besonders die Ableitungen von Sinus und Kosinus sind einfach zu merken, da sie sich gegenseitig beeinflussen.
🔄 Formeln für Sinus, Kosinus und Tangens
Die Ableitungen dieser drei Grundfunktionen sind feste Regeln, die man auswendig lernen sollte.
1. Sinusfunktion (sin)
$$ f(x) = \sin(x) \implies f'(x) = \cos(x) $$2. Kosinusfunktion (cos)
$$ f(x) = \cos(x) \implies f'(x) = -\sin(x) $$3. Tangensfunktion (tan)
$$ f(x) = \tan(x) \implies f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} $$💡 Herleitung für Tangens: Die Ableitung der Tangensfunktion kann man sich einfach mit der Quotientenregel herleiten, da gilt: $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.
✏️ Beispiele zur Veranschaulichung
In der Praxis werden diese Regeln oft mit anderen kombiniert.
Beispiel 1: Mit einem konstanten Faktor
Gegeben ist die Funktion: $f(x) = 4\cos(x)$
Nach der Faktorregel bleibt die 4 erhalten. Die Ableitung von $\cos(x)$ ist $-\sin(x)$.
Die Ableitung lautet: $f'(x) = 4 \cdot (-\sin(x)) = -4\sin(x)$
Beispiel 2: Kombination mit der Summenregel
Gegeben ist die Funktion: $f(x) = 2\sin(x) - 3\cos(x)$
Die beiden Terme werden einzeln abgeleitet:
- Die Ableitung von $2\sin(x)$ ist $2\cos(x)$.
- Die Ableitung von $-3\cos(x)$ ist $-3(-\sin(x)) = 3\sin(x)$.
Das Ergebnis lautet: $f'(x) = 2\cos(x) + 3\sin(x)$
Beispiel 3: Kombination mit der Kettenregel
Gegeben ist die Funktion: $f(x) = \sin(3x+2)$
Dies ist eine verkettete Funktion:
- Äußere Funktion: $u(x) = \sin(x) \implies u'(x) = \cos(x)$
- Innere Funktion: $v(x) = 3x+2 \implies v'(x) = 3$
- Anwendung: $f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = \cos(3x+2) \cdot 3$
Die Ableitung lautet: $f'(x) = 3\cos(3x+2)$
Beispiel 4: Kombination mit der Produktregel
Gegeben ist die Funktion: $f(x) = x^2 \cdot \sin(x)$
Wir wenden die Produktregel $f'(x) = u'v + uv'$ an:
- $u(x) = x^2 \implies u'(x) = 2x$
- $v(x) = \sin(x) \implies v'(x) = \cos(x)$
- Anwendung: $f'(x) = (2x) \cdot \sin(x) + (x^2) \cdot \cos(x)$
Die Ableitung lautet: $f'(x) = 2x\sin(x) + x^2\cos(x)$