Ableitung der Logarithmusfunktion

📐 Formeln zur Ableitung des Logarithmus

Wir unterscheiden auch hier zwischen dem natürlichen Logarithmus (zur Basis $e$) und dem allgemeinen Logarithmus zu einer beliebigen Basis $a$.

💡 Allgemeiner Logarithmus: Für eine Funktion $f(x) = \log_a(x)$ mit einer beliebigen positiven Basis $a$ lautet die Ableitung $f'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln(a)}$. Die Regel für $\ln(x)$ ist auch hier nur der Spezialfall mit der Basis $a=e$, da $\ln(e)=1$.

✏️ Beispiele zur Veranschaulichung

Die Regeln werden meist in Kombination mit anderen Ableitungsregeln angewendet.

Beispiel 1: Einfache ln-Funktion mit Faktor

Gegeben ist die Funktion: $f(x) = 4\ln(x)$

Der konstante Faktor 4 bleibt nach der Faktorregel erhalten. Die Ableitung von $\ln(x)$ ist $\frac{1}{x}$.

Die Ableitung lautet: $f'(x) = 4 \cdot \frac{1}{x} = \frac{4}{x}$

Beispiel 2: Kombination mit der Summenregel

Gegeben ist die Funktion: $f(x) = 3\ln(x) - x^2$

Die Terme werden einzeln abgeleitet:

• Die Ableitung von $3\ln(x)$ ist $3 \cdot \frac{1}{x}$.
• Die Ableitung von $-x^2$ ist $-2x$.

Das Ergebnis lautet: $f'(x) = \frac{3}{x} - 2x$

Beispiel 3: Allgemeiner Logarithmus

Gegeben ist die Funktion: $f(x) = \log_2(x)$

Hier nutzen wir die allgemeine Formel $f'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln(a)}$ mit der Basis $a=2$.

Die Ableitung lautet: $f'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln(2)}$

Beispiel 4: Kombination mit der Kettenregel

Gegeben ist die Funktion: $f(x) = \ln(x^3 + 1)$

Dies ist eine verkettete Funktion ("Logarithmus von etwas").

• Äußere Funktion: $u(x) = \ln(x) \implies u'(x) = \frac{1}{x}$
• Innere Funktion: $v(x) = x^3+1 \implies v'(x) = 3x^2$
• Anwendung der Kettenregel: $f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = \frac{1}{x^3+1} \cdot 3x^2$

Die Ableitung lautet: $f'(x) = \frac{3x^2}{x^3+1}$