Die Kettenregel: Verkettete Funktionen meistern

Die Kettenregel ist eine der wichtigsten Ableitungsregeln. Du benötigst sie immer dann, wenn Funktionen ineinander "verschachtelt" oder "verkettet" sind – also wenn eine Funktion als Argument einer anderen Funktion dient.

⛓️ Formel der Kettenregel

Eine verkettete Funktion $f(x)$ besteht aus einer äußeren Funktion $u(x)$ und einer inneren Funktion $v(x)$. Man schreibt sie als $f(x) = u(v(x))$.

Gegeben sei die Funktion:

$$ f(x) = u(v(x)) $$

Dann ist ihre Ableitung das Produkt aus äußerer und innerer Ableitung:

$$ f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) $$

💡 Merkhilfe: "Äußere Ableitung mal innere Ableitung." Dabei wird in die äußere Ableitung die unveränderte innere Funktion wieder eingesetzt.

🪜 Anwendung in 4 einfachen Schritten

Mit diesem systematischen Vorgehen löst du jede Kettenregel-Aufgabe.

Funktionen identifizieren: Bestimme die äußere Funktion $u(x)$ und die innere Funktion $v(x)$.
Einzeln ableiten: Bilde die Ableitungen $u'(x)$ und $v'(x)$ separat.
Innere Funktion in äußere Ableitung einsetzen: Nimm die äußere Ableitung $u'(x)$ und ersetze jedes $x$ darin durch die vollständige innere Funktion $v(x)$. So erhältst du $u'(v(x))$.
Multiplizieren: Multipliziere das Ergebnis aus Schritt 3 mit der inneren Ableitung $v'(x)$.

✏️ Beispiele zur Veranschaulichung

Anhand dieser Beispiele wird die Anwendung der Regel klar.

Beispiel 1: Potenz einer Funktion

Gegeben ist die Funktion: $f(x) = (3x + 5)^4$

1. Identifizieren: Äußere Funktion: $u(x) = x^4$. Innere Funktion: $v(x) = 3x+5$.
2. Einzeln ableiten: Äußere Ableitung: $u'(x) = 4x^3$. Innere Ableitung: $v'(x) = 3$.
3. Einsetzen: $u'(v(x)) = 4(3x+5)^3$.
4. Multiplizieren: $f'(x) = 4(3x+5)^3 \cdot 3$.

Das Ergebnis lautet: $f'(x) = 12(3x+5)^3$

Beispiel 2: Sinus einer Funktion

Gegeben ist die Funktion: $f(x) = \sin(x^2)$

1. Identifizieren: Äußere Funktion: $u(x) = \sin(x)$. Innere Funktion: $v(x) = x^2$.
2. Einzeln ableiten: Äußere Ableitung: $u'(x) = \cos(x)$. Innere Ableitung: $v'(x) = 2x$.
3. Einsetzen: $u'(v(x)) = \cos(x^2)$.
4. Multiplizieren: $f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x$.

Das Ergebnis lautet: $f'(x) = 2x \cdot \cos(x^2)$

Beispiel 3: e-Funktion mit komplexem Exponenten

Gegeben ist die Funktion: $f(x) = e^{4x^3 - 2x}$

1. Identifizieren: Äußere Funktion: $u(x) = e^x$. Innere Funktion: $v(x) = 4x^3 - 2x$.
2. Einzeln ableiten: Äußere Ableitung: $u'(x) = e^x$. Innere Ableitung: $v'(x) = 12x^2 - 2$.
3. Einsetzen: $u'(v(x)) = e^{4x^3 - 2x}$.
4. Multiplizieren: $f'(x) = e^{4x^3 - 2x} \cdot (12x^2 - 2)$.

Das Ergebnis lautet: $f'(x) = (12x^2 - 2) \cdot e^{4x^3 - 2x}$