Die Konstantenregel & Faktorregel
Die Konstantenregel ist die einfachste aller Ableitungsregeln. Sie besagt, dass Konstanten – also Zahlen, die nicht von $x$ abhängen – beim Ableiten wegfallen. Eng damit verwandt ist die Faktorregel, die beschreibt, wie man mit konstanten Faktoren umgeht.
🔢 Die Formeln
Man muss zwei Fälle unterscheiden: Steht eine Konstante allein oder als Faktor vor einer Funktion?
1. Die Konstantenregel
Eine Funktion, die nur aus einer Konstante $c$ besteht:
$$ f(x) = c $$hat immer die Ableitung Null:
$$ f'(x) = 0 $$Grafisch bedeutet das: Der Graph von $f(x)=c$ ist eine waagerechte Linie. Ihre Steigung ist an jeder Stelle Null.
2. Die Faktorregel
Ein konstanter Faktor $c$ vor einer Funktion $g(x)$:
$$ f(x) = c \cdot g(x) $$bleibt beim Ableiten einfach erhalten:
$$ f'(x) = c \cdot g'(x) $$✏️ Beispiele zur Veranschaulichung
Beispiel 1: Eine reine Konstante
Gegeben ist die Funktion: $f(x) = 7$
Da 7 eine Konstante ist, greift die Konstantenregel.
Die Ableitung lautet: $f'(x) = 0$
Beispiel 2: Anwendung der Faktorregel
Gegeben ist die Funktion: $f(x) = 5x^3$
Der Faktor 5 bleibt erhalten und wir leiten $x^3$ mit der Potenzregel ab:
- Der Faktor $5$ bleibt stehen.
- Die Ableitung von $x^3$ ist $3x^2$.
- Das Ergebnis ist $5 \cdot 3x^2$.
Die Ableitung lautet: $f'(x) = 15x^2$
Beispiel 3: Faktorregel bei einer Sinusfunktion
Gegeben ist die Funktion: $f(x) = 3\sin(x)$
Der Faktor 3 bleibt erhalten, während $\sin(x)$ zu $\cos(x)$ abgeleitet wird.
Die Ableitung lautet: $f'(x) = 3\cos(x)$
Beispiel 4: Kombination in einer Summe
Gegeben ist die Funktion: $f(x) = 4x^2 + 9$
Hier wenden wir die Regeln auf jeden Summanden einzeln an:
- Für $4x^2$ gilt die Faktor- und Potenzregel: die Ableitung ist $4 \cdot 2x = 8x$.
- Für die $+9$ gilt die Konstantenregel: die Ableitung ist $0$.
Die Ableitung lautet: $f'(x) = 8x + 0 = 8x$