Ableitungsrechner

Die Produktregel: Produkte sicher ableiten

Die Produktregel ist unverzichtbar, wenn du eine Funktion ableiten musst, die aus dem Produkt zweier Funktionen besteht. Achtung: Man darf nicht einfach beide Teile einzeln ableiten und die Ergebnisse multiplizieren! Die Produktregel gibt den korrekten Weg vor.

🤝 Formel der Produktregel

Wenn eine Funktion $f(x)$ das Produkt von zwei Funktionen $u(x)$ und $v(x)$ ist, lautet die Formel:

Gegeben sei die Funktion:

$$ f(x) = u(x) \cdot v(x) $$

Dann ist ihre Ableitung:

$$ f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) $$

💡 Merkhilfe: "Die Ableitung des ersten Faktors mal den zweiten Faktor, plus der erste Faktor mal die Ableitung des zweiten Faktors."

🪜 Anwendung in 4 einfachen Schritten

Folge diesen Schritten, um die Produktregel systematisch und fehlerfrei anzuwenden.

  1. Faktoren identifizieren: Bestimme, was $u(x)$ (der erste Faktor) und was $v(x)$ (der zweite Faktor) ist.
  2. Einzeln ableiten: Bilde die Ableitungen $u'(x)$ und $v'(x)$ separat.
  3. In die Formel einsetzen: Setze $u(x)$, $v(x)$, $u'(x)$ und $v'(x)$ an der richtigen Stelle in die Produktregel-Formel ein.
  4. Ergebnis vereinfachen: Fasse den entstandenen Term zusammen, indem du Klammern auflöst oder gemeinsame Faktoren ausklammerst.

✏️ Beispiele zur Veranschaulichung

Anhand dieser Beispiele wird die Anwendung der Regel klar.

Beispiel 1: Polynom- und Sinusfunktion

Gegeben ist die Funktion: $f(x) = x^2 \cdot \sin(x)$

  • 1. Identifizieren: $u(x) = x^2$ und $v(x) = \sin(x)$.
  • 2. Einzeln ableiten: $u'(x) = 2x$ und $v'(x) = \cos(x)$.
  • 3. Einsetzen: $f'(x) = (2x) \cdot \sin(x) + (x^2) \cdot \cos(x)$.
  • 4. Vereinfachen: Der Term ist bereits maximal vereinfacht.

Das Ergebnis lautet also: $f'(x) = 2x \cdot \sin(x) + x^2 \cdot \cos(x)$

Beispiel 2: Lineare Funktion und e-Funktion

Gegeben ist die Funktion: $f(x) = (3x + 2) \cdot e^x$

  • 1. Identifizieren: $u(x) = 3x+2$ und $v(x) = e^x$.
  • 2. Einzeln ableiten: $u'(x) = 3$ und $v'(x) = e^x$.
  • 3. Einsetzen: $f'(x) = 3 \cdot e^x + (3x + 2) \cdot e^x$.
  • 4. Vereinfachen: Hier kann $e^x$ ausgeklammert werden. $f'(x) = (3 + 3x + 2) \cdot e^x = (3x + 5) \cdot e^x$.

Das Ergebnis lautet: $f'(x) = (3x + 5) \cdot e^x$

Beispiel 3: Produkt zweier Klammerterme

Gegeben ist die Funktion: $f(x) = (x^3 - 1)(2x^2 + 4)$

  • 1. Identifizieren: $u(x) = x^3-1$ und $v(x) = 2x^2+4$.
  • 2. Einzeln ableiten: $u'(x) = 3x^2$ und $v'(x) = 4x$.
  • 3. Einsetzen: $f'(x) = (3x^2) \cdot (2x^2+4) + (x^3-1) \cdot (4x)$.
  • 4. Vereinfachen: Die Klammern werden ausmultipliziert. $f'(x) = (6x^4 + 12x^2) + (4x^4 - 4x) = 10x^4 + 12x^2 - 4x$.

Das Ergebnis lautet: $f'(x) = 10x^4 + 12x^2 - 4x$