Ableitungsrechner

Lösung zur Ableitung der Formel

Eingabefunktion
$$\left(2\,x - 1\right)\,\mathrm{e}^{-x}$$
Start der Ableitung
$$\frac{d}{dx}{\left[\left(2\,x - 1\right)\,\mathrm{e}^{-x}\right]}$$

Gelb: Dieser Teil wird ersetzt. Grün: Das ist der neue Ausdruck.

Schritt 1 — Produktregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \cdot v)=u'v+uv'$$
Mit:
  • $u = 2\,x - 1$
  • $v = \mathrm{e}^{-x}$

Warum dieser Schritt? Zuerst: Ableitung des ersten Faktors mal unveränderter zweiter Faktor. Dazu kommt der unveränderte erste Faktor mal Ableitung des zweiten. Die beiden Ableitungen werden nicht einfach miteinander multipliziert.

Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\left(2\,x - 1\right)\,\mathrm{e}^{-x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Produktregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x - 1\right]}\,\mathrm{e}^{-x} + \left(2\,x - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}\,}}}$$
Schritt 2 — Summen-/Differenzenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(u \pm v \pm \dots) = \frac{d}{dx}(u) \pm \frac{d}{dx}(v) \pm \dots$$
Mit:
  • $u = 2\,x$
  • $v = 1$

Warum dieser Schritt? Wir leiten jeden Summanden einzeln ab. Die Plus- und Minuszeichen dazwischen bleiben erhalten. Auch eine Konstante erhält zunächst ihr eigenes Ableitungszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[2\,x - 1\right]} \;\Longrightarrow\; \frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x - 1\right]}\,}}}\,\mathrm{e}^{-x} + \left(2\,x - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
✨ Nach Summen-/Differenzenregel
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,}}}\,\mathrm{e}^{-x} + \left(2\,x - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
Schritt 3 — Faktorregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c\,u)=c\,u'$$
Mit:
  • $c = 2$
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Der konstante Faktor bleibt vor der Ableitung stehen. Nur der von x abhängige Teil wird anschließend abgeleitet.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]} \;\Longrightarrow\; 2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[2\,x\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\mathrm{e}^{-x} + \left(2\,x - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
✨ Nach Faktorregel
$$\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\mathrm{e}^{-x} + \left(2\,x - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
Schritt 4 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(2\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\mathrm{e}^{-x} + \left(2\,x - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$\left(2 \cdot \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\mathrm{e}^{-x} + \left(2\,x - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
Schritt 5 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $2 \cdot 1 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2 \cdot 1\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\mathrm{e}^{-x} + \left(2\,x - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$\left(\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}} - \frac{d}{dx}{\left[1\right]}\right)\,\mathrm{e}^{-x} + \left(2\,x - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
Schritt 6 — Konstantenregel Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(c)=0$$
Mit:
  • $c = 1$

Warum dieser Schritt? Dieser Term hängt nicht von x ab. Sein Wert bleibt gleich, wenn sich x ändert. Deshalb ist die Ableitung 0. Andere Buchstaben werden als konstante Parameter behandelt.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[1\right]} \;\Longrightarrow\; 0$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\left(2 - \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[1\right]}\,}}}\right)\,\mathrm{e}^{-x} + \left(2\,x - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
✨ Nach Konstantenregel
$$\left(2 - \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,0\,}}}\right)\,\mathrm{e}^{-x} + \left(2\,x - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
Schritt 7 — Null als Summand entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+0=a,\quad a-0=a$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren oder Subtrahieren von 0 ändert den Wert nicht. Dieser Summand darf wegfallen.

Nur der geänderte Teil: $2 - 0 \;\Longrightarrow\; 2$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2 - 0\right)\,}}}\,\mathrm{e}^{-x} + \left(2\,x - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
✨ Nach Null als Summand entfernen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,}}}\,\mathrm{e}^{-x} + \left(2\,x - 1\right)\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}$$
Schritt 8 — Ableitung der Exponentialfunktion Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(e^{u})=e^{u}\cdot u'$$
Mit:
  • $u = -x$

Warum dieser Schritt? Die e-Funktion bleibt beim Ableiten erhalten. Für einen zusammengesetzten Exponenten kommt mit der Kettenregel dessen Ableitung hinzu.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\mathrm{e}^{-x} + \left(2\,x - 1\right)\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[\mathrm{e}^{-x}\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung der Exponentialfunktion
$$2\,\mathrm{e}^{-x} + \left(2\,x - 1\right)\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x}\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}\,}}}$$
Schritt 9 — Ableitung eines negativen Terms Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(-u) = -u'$$
Mit:
  • $u = x$

Warum dieser Schritt? Das Minuszeichen bleibt erhalten. Wir leiten anschließend den Ausdruck dahinter ab.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[-x\right]} \;\Longrightarrow\; -\frac{d}{dx}{\left[x\right]}$
Interne Erklärung
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\mathrm{e}^{-x} + \left(2\,x - 1\right)\,\mathrm{e}^{-x}\,\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[-x\right]}\,}}}$$
✨ Nach Ableitung eines negativen Terms
$$2\,\mathrm{e}^{-x} + \left(2\,x - 1\right)\,\mathrm{e}^{-x}\,\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\right)\,}}}$$
Schritt 10 — Ableitung der Variablen Ableitungsregel
📖 Regel
$$\frac{d}{dx}(x)=1$$

Warum dieser Schritt? Erhöht sich x um 1, erhöht sich auch der Wert dieses Terms um 1. Daher ist die Ableitung von x gleich 1.

Nur der geänderte Teil: $\frac{d}{dx}{\left[x\right]} \;\Longrightarrow\; 1$
Interne Erklärung Wikipedia
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\mathrm{e}^{-x} + \left(2\,x - 1\right)\,\mathrm{e}^{-x}\,\left(-\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\frac{d}{dx}{\left[x\right]}\,}}}\right)$$
✨ Nach Ableitung der Variablen
$$2\,\mathrm{e}^{-x} + \left(2\,x - 1\right)\,\mathrm{e}^{-x}\,\left(-\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,}}}\right)$$
Schritt 11 — Faktor −1 als Minuszeichen schreiben Vereinfachung
📖 Regel
$$(-1)\cdot a=-a$$

Warum dieser Schritt? Multiplizieren mit −1 ergibt die Gegenzahl. Wir schreiben dafür nur ein Minuszeichen.

Nur der geänderte Teil: $\left(2\,x - 1\right)\,\mathrm{e}^{-x}\,\left(-1\right) \;\Longrightarrow\; -\left(2\,x - 1\right)\,\mathrm{e}^{-x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\mathrm{e}^{-x} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2\,x - 1\right)\,\mathrm{e}^{-x}\,\left(-1\right)\,}}}$$
✨ Nach Faktor −1 als Minuszeichen schreiben
$$2\,\mathrm{e}^{-x} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(-\left(2\,x - 1\right)\,\mathrm{e}^{-x}\right)\,}}}$$
Schritt 12 — Plus und Minus zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a+(-b)=a-b$$

Warum dieser Schritt? Das Addieren eines negativen Ausdrucks ist dasselbe wie das Subtrahieren des positiven Ausdrucks.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\mathrm{e}^{-x} + \left(-\left(2\,x - 1\right)\,\mathrm{e}^{-x}\right)\,}}}$$
✨ Nach Plus und Minus zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\mathrm{e}^{-x} - \left(2\,x - 1\right)\,\mathrm{e}^{-x}\,}}}$$
Schritt 13 — Ausmultiplizieren Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$

Warum dieser Schritt? Mit dem Distributivgesetz multiplizieren wir jeden Summanden der Klammer mit den übrigen Faktoren. Danach können gleichartige Terme zusammengefasst werden.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\mathrm{e}^{-x} - \left(2\,x - 1\right)\,\mathrm{e}^{-x}\,}}}$$
✨ Nach Ausmultiplizieren
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\mathrm{e}^{-x} - 2\,x\,\mathrm{e}^{-x} + 1\,\mathrm{e}^{-x}\,}}}$$
Schritt 14 — Faktor 1 entfernen Vereinfachung
📖 Regel
$$1\cdot a=a,\quad \frac{a}{1}=a$$

Warum dieser Schritt? Multiplikation oder Division durch 1 lässt den Wert unverändert.

Nur der geänderte Teil: $1\,\mathrm{e}^{-x} \;\Longrightarrow\; \mathrm{e}^{-x}$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$2\,\mathrm{e}^{-x} - 2\,x\,\mathrm{e}^{-x} + \bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,1\,\mathrm{e}^{-x}\,}}}$$
✨ Nach Faktor 1 entfernen
$$2\,\mathrm{e}^{-x} - 2\,x\,\mathrm{e}^{-x} + \bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\mathrm{e}^{-x}\,}}}$$
Schritt 15 — Gleichartige Terme zusammenfassen Vereinfachung
📖 Regel
$$a\cdot u\pm b\cdot u=(a\pm b)\cdot u$$

Warum dieser Schritt? Beide Summanden haben denselben variablen Teil. Wir klammern ihn aus und schreiben die Summe oder Differenz der Zahlenfaktoren davor. Diese Zahlenrechnung folgt im nächsten Schritt.

🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,2\,\mathrm{e}^{-x} - 2\,x\,\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{-x}\,}}}$$
✨ Nach Gleichartige Terme zusammenfassen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2 + 1\right)\,\mathrm{e}^{-x} - 2\,x\,\mathrm{e}^{-x}\,}}}$$
Schritt 16 — Zahlen ausrechnen Vereinfachung
📖 Regel

Warum dieser Schritt? Wir rechnen nur den markierten Zahlenausdruck aus. Brüche und Dezimalzahlen bleiben exakt.

Nur der geänderte Teil: $2 + 1 \;\Longrightarrow\; 3$
🧮 Aktueller Ausdruck
$$\bbox[#fff1b8, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,\left(2 + 1\right)\,}}}\,\mathrm{e}^{-x} - 2\,x\,\mathrm{e}^{-x}$$
✨ Nach Zahlen ausrechnen
$$\bbox[#d6f5df, padding:0.15em]{{\color{black}{\vphantom{\dfrac{d}{dx}}\,3\,}}}\,\mathrm{e}^{-x} - 2\,x\,\mathrm{e}^{-x}$$
Endergebnis
$$3\,\mathrm{e}^{-x} - 2\,x\,\mathrm{e}^{-x}$$
Permalink zur Berechnung
Direkt berechnet (Maxima)

Abgleich des Ergebnisses mit dem Computeralgebrasystem Maxima:

$$2\,\mathrm{e}^{-x} - \mathrm{e}^{-x}\,\left(2\,x - 1\right)$$
Abgleich Rechenweg ↔ Maxima: symbolisch bestätigt