Ableitungen üben – gemischte Aufgaben
In der Klausur steht nicht dabei, welche Regel du brauchst. Diese Aufgaben mischen alle Ableitungsregeln: erst die Struktur der Funktion erkennen, dann die passende Regel wählen.
📖 Die Regel
$$\text{Summe} \to \text{Summenregel},\ \ \text{Produkt} \to \text{Produktregel},\ \ \text{Bruch} \to \text{Quotientenregel},\ \ \text{Verkettung} \to \text{Kettenregel}$$
Frag dich zuerst: Was ist die äußerste Rechenoperation? Danach richtet sich die erste Regel. Ausführliche Erklärung mit Beispielen
So übst du hier
- Rechne f'(x) auf Papier aus.
- Tipp dein Ergebnis ins Feld und klick auf Prüfen – jede gleichwertige Schreibweise zählt als richtig.
- Unter Lösung anzeigen steht das Ergebnis, unter Rechner der ganze Lösungsweg Schritt für Schritt.
- Jede Aufgabe hat einen Formel-Code. Er steht auch auf dem PDF-Arbeitsblatt und wird unter ableitungsrechner.org/c eingegeben.
Direkt zu: Leicht Mittel Schwer Arbeitsblatt (PDF)
✏️ Leichte Aufgaben
Je Aufgabe eine Regel – du musst nur erkennen, welche.
- $f(x) = 3\,x^{4} - 2\,x + 1$$f'(x) = 12\,x^{3} - 2$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = 4\,x^{3} + \sqrt{x}$$f'(x) = 12\,x^{2} + \frac{1}{2\,\sqrt{x}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sin\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}$$f'(x) = \cos\left(x\right) + \mathrm{e}^{x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = 2\,\ln\left(x\right) - x^{2}$$f'(x) = \frac{2}{x} - 2\,x$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\mathrm{e}^{x}$$f'(x) = \mathrm{e}^{x} + x\,\mathrm{e}^{x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \left(2\,x + 1\right)^{3}$$f'(x) = 6\,\left(2\,x + 1\right)^{2}$vereinfacht: $f'(x) = 24\,x^{2} + 24\,x + 6$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{1}{x} + \cos\left(x\right)$$f'(x) = -\frac{1}{x^{2}} - \sin\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{2}\,\sin\left(x\right)$$f'(x) = 2\,x\,\sin\left(x\right) + x^{2}\,\cos\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \mathrm{e}^{3\,x}$$f'(x) = 3\,\mathrm{e}^{3\,x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = 5\,x^{2} - \frac{3}{x}$$f'(x) = 10\,x + \frac{3}{x^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(4\,x\right)$$f'(x) = \frac{1}{x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{x}{x + 1}$$f'(x) = \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{x} + 2\,x$$f'(x) = \frac{1}{2\,\sqrt{x}} + 2$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \cos\left(2\,x\right)$$f'(x) = -2\,\sin\left(2\,x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = 2^{x} + x^{2}$$f'(x) = \ln\left(2\right) \cdot 2^{x} + 2\,x$Lösungsweg Schritt für Schritt →
🔥 Mittelschwere Aufgaben
Zwei Regeln pro Aufgabe, z. B. Produkt- und Kettenregel.
- $f(x) = x^{2}\,\mathrm{e}^{2\,x}$$f'(x) = 2\,x\,\mathrm{e}^{2\,x} + 2\,x^{2}\,\mathrm{e}^{2\,x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(x^{2} + 4\right)$$f'(x) = \frac{2\,x}{x^{2} + 4}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$$f'(x) = \frac{4\,x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{3\,x + 1}$$f'(x) = \frac{3}{2\,\sqrt{3\,x + 1}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\ln\left(x\right) - x$$f'(x) = \ln\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \mathrm{e}^{-x}\,\sin\left(x\right)$$f'(x) = -\mathrm{e}^{-x}\,\sin\left(x\right) + \mathrm{e}^{-x}\,\cos\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\left(3\,x - 1\right)^{4}$$f'(x) = \left(3\,x - 1\right)^{4} + 12\,x\,\left(3\,x - 1\right)^{3}$vereinfacht: $f'(x) = 405\,x^{4} - 432\,x^{3} + 162\,x^{2} - 24\,x + 1$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \cos\left(x^{2}\right) + x$$f'(x) = -2\,x\,\sin\left(x^{2}\right) + 1$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{x^{3}}{x - 2}$$f'(x) = \frac{2\,x^{3} - 6\,x^{2}}{\left(x - 2\right)^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{\mathrm{e}^{x}}{1 + x}$$f'(x) = \frac{x\,\mathrm{e}^{x}}{\left(1 + x\right)^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\sqrt{x + 1}$$f'(x) = \sqrt{x + 1} + \frac{x}{2\,\sqrt{x + 1}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(x\right)^{2} + \ln\left(x\right)$$f'(x) = \frac{2\,\ln\left(x\right)}{x} + \frac{1}{x}$vereinfacht: $f'(x) = \frac{2\,\ln\left(x\right) + 1}{x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{1}{x^{2} + 2\,x}$$f'(x) = -\frac{2\,x + 2}{\left(x^{2} + 2\,x\right)^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\cos\left(2\,x\right)$$f'(x) = \cos\left(2\,x\right) - 2\,x\,\sin\left(2\,x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{x + 1}{\sin\left(x\right)}$$f'(x) = \frac{\sin\left(x\right) - \left(x + 1\right)\,\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
🚀 Schwere Aufgaben
Mehrere Regeln, Vereinfachen vor dem Ableiten lohnt sich.
- $f(x) = x^{2}\,\mathrm{e}^{-x^{2}}$$f'(x) = 2\,x\,\mathrm{e}^{-x^{2}} - 2\,x^{3}\,\mathrm{e}^{-x^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)$$f'(x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sin\left(x\right)^{2}\,\cos\left(x\right)$$f'(x) = 2\,\sin\left(x\right)\,\cos\left(x\right)^{2} - \sin\left(x\right)^{3}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{x^{2} + 1}{\sqrt{x}}$$f'(x) = \frac{2\,x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^{2} + 1}{2\,\sqrt{x}}}{\left(\sqrt{x}\right)^{2}}$vereinfacht: $f'(x) = \frac{3\,x^{2} - 1}{2\,x^{\frac{3}{2}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\ln\left(x^{2} + 1\right)$$f'(x) = \ln\left(x^{2} + 1\right) + \frac{2\,x^{2}}{x^{2} + 1}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}$$f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}\,\left(1 + x\right)^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \arctan\left(x^{2}\right)$$f'(x) = \frac{2\,x}{1 + x^{4}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \mathrm{e}^{-x}\,\left(x^{2} + 2\,x\right)$$f'(x) = -x^{2}\,\mathrm{e}^{-x} + 2\,\mathrm{e}^{-x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{\ln\left(x\right)}{1 + \ln\left(x\right)}$$f'(x) = \frac{\frac{1 + \ln\left(x\right)}{x} - \frac{\ln\left(x\right)}{x}}{\left(1 + \ln\left(x\right)\right)^{2}}$vereinfacht: $f'(x) = \frac{1}{x\,\left(\ln\left(x\right) + 1\right)^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x^{2}\,\left(2\,x - 1\right)^{3}$$f'(x) = 2\,x\,\left(2\,x - 1\right)^{3} + 6\,x^{2}\,\left(2\,x - 1\right)^{2}$vereinfacht: $f'(x) = 40\,x^{4} - 48\,x^{3} + 18\,x^{2} - 2\,x$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \cos\left(\ln\left(x^{2}\right)\right)$$f'(x) = -\frac{2\,\sin\left(\ln\left(x^{2}\right)\right)}{x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{\mathrm{e}^{x} - 1}{\mathrm{e}^{x} + 1}$$f'(x) = \frac{2\,\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = x\,\sqrt{1 - x^{2}}$$f'(x) = \sqrt{1 - x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sin\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)$$f'(x) = \frac{x\,\cos\left(\sqrt{x^{2} + 1}\right)}{\sqrt{x^{2} + 1}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{\tan\left(x\right)}{x^{2}}$$f'(x) = \frac{\frac{x^{2}}{\cos\left(x\right)^{2}} - 2\,x\,\tan\left(x\right)}{x^{4}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
⚠️ Typische Fehler
- Vor dem Ableiten vereinfachen: ln(√(x²+1)) = ½·ln(x²+1).
- Bei Brüchen mit einer Zahl im Nenner reicht die Faktorregel.
- Ergebnis mit dem Rechner überprüfen: Code eingeben oder „Rechner“ anklicken.
🖨️ Arbeitsblatt zum Ausdrucken
Alle Aufgaben dieser Seite gibt es als PDF mit Lösungsblatt. Neben jeder Aufgabe steht ihr Formel-Code – damit holst du die Aufgabe ohne Abtippen in den Rechner und kannst deine Lösung prüfen.