Kettenregel – Übungen mit Lösungen
Bei verketteten Funktionen gilt: äußere Ableitung mal innere Ableitung. Hier übst du die Kettenregel in drei Stufen – von linearen inneren Funktionen bis zu Verkettungen mit drei Ebenen.
📖 Die Regel
$$\big(u(v(x))\big)' = u'(v(x)) \cdot v'(x)$$
In die äußere Ableitung setzt du die innere Funktion unverändert wieder ein und multiplizierst mit der inneren Ableitung. Ausführliche Erklärung mit Beispielen
So übst du hier
- Rechne f'(x) auf Papier aus.
- Tipp dein Ergebnis ins Feld und klick auf Prüfen – jede gleichwertige Schreibweise zählt als richtig.
- Unter Lösung anzeigen steht das Ergebnis, unter Rechner der ganze Lösungsweg Schritt für Schritt.
- Jede Aufgabe hat einen Formel-Code. Er steht auch auf dem PDF-Arbeitsblatt und wird unter ableitungsrechner.org/c eingegeben.
Direkt zu: Leicht Mittel Schwer Arbeitsblatt (PDF)
✏️ Leichte Aufgaben
Lineare innere Funktionen wie 2x + 1 oder 3x: die innere Ableitung ist eine Zahl.
- $f(x) = \left(2\,x + 1\right)^{3}$$f'(x) = 6\,\left(2\,x + 1\right)^{2}$vereinfacht: $f'(x) = 24\,x^{2} + 24\,x + 6$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \left(3\,x - 4\right)^{5}$$f'(x) = 15\,\left(3\,x - 4\right)^{4}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \left(x^{2} + 1\right)^{4}$$f'(x) = 8\,x\,\left(x^{2} + 1\right)^{3}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sin\left(3\,x\right)$$f'(x) = 3\,\cos\left(3\,x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \cos\left(5\,x\right)$$f'(x) = -5\,\sin\left(5\,x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \mathrm{e}^{2\,x}$$f'(x) = 2\,\mathrm{e}^{2\,x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \left(1 - x\right)^{6}$$f'(x) = -6\,\left(1 - x\right)^{5}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \left(4\,x + 3\right)^{2}$$f'(x) = 32\,x + 24$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sin\left(x + 2\right)$$f'(x) = \cos\left(x + 2\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \mathrm{e}^{-x}$$f'(x) = -\mathrm{e}^{-x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \cos\left(2\,x + 1\right)$$f'(x) = -2\,\sin\left(2\,x + 1\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \left(5 - 2\,x\right)^{3}$$f'(x) = -6\,\left(5 - 2\,x\right)^{2}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \mathrm{e}^{3\,x + 1}$$f'(x) = 3\,\mathrm{e}^{3\,x + 1}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sin\left(4\,x\right)$$f'(x) = 4\,\cos\left(4\,x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \left(x^{2} - 3\right)^{2}$$f'(x) = 4\,x\,\left(x^{2} - 3\right)$vereinfacht: $f'(x) = 4\,x^{3} - 12\,x$Lösungsweg Schritt für Schritt →
🔥 Mittelschwere Aufgaben
Innere Funktionen wie x² + 1, x³ oder sin x, außen Wurzeln, ln, eˣ und Potenzen.
- $f(x) = \sqrt{2\,x + 1}$$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2\,x + 1}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{x^{2} + 4}$$f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(3\,x\right)$$f'(x) = \frac{1}{x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(x^{2} + 1\right)$$f'(x) = \frac{2\,x}{x^{2} + 1}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sin\left(x^{2}\right)$$f'(x) = 2\,x\,\cos\left(x^{2}\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \cos\left(x^{3}\right)$$f'(x) = -3\,x^{2}\,\sin\left(x^{3}\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \mathrm{e}^{x^{2}}$$f'(x) = 2\,x\,\mathrm{e}^{x^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \left(x^{3} + 2\,x\right)^{4}$$f'(x) = 4\,\left(x^{3} + 2\,x\right)^{3}\,\left(3\,x^{2} + 2\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{1}{2\,x + 3}$$f'(x) = -\frac{2}{\left(2\,x + 3\right)^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$f'(x) = -\frac{4\,x}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt[3]{3\,x - 1}$$f'(x) = \frac{1}{\left(3\,x - 1\right)^{\frac{2}{3}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \tan\left(2\,x\right)$$f'(x) = \frac{2}{\cos\left(2\,x\right)^{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \mathrm{e}^{\sin\left(x\right)}$$f'(x) = \mathrm{e}^{\sin\left(x\right)}\,\cos\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(5\,x - 2\right)$$f'(x) = \frac{5}{5\,x - 2}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sin\left(x\right)^{3}$$f'(x) = 3\,\sin\left(x\right)^{2}\,\cos\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
🚀 Schwere Aufgaben
Mehrfach verkettete Funktionen: die Kettenregel zwei- oder dreimal anwenden.
- $f(x) = \sin\left(\mathrm{e}^{2\,x}\right)$$f'(x) = 2\,\cos\left(\mathrm{e}^{2\,x}\right)\,\mathrm{e}^{2\,x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(\cos\left(x\right)\right)$$f'(x) = -\frac{\sin\left(x\right)}{\cos\left(x\right)}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \mathrm{e}^{\sqrt{x}}$$f'(x) = \frac{\mathrm{e}^{\sqrt{x}}}{2\,\sqrt{x}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{\sin\left(x\right)}$$f'(x) = \frac{\cos\left(x\right)}{2\,\sqrt{\sin\left(x\right)}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \cos\left(x\right)^{4}$$f'(x) = -4\,\cos\left(x\right)^{3}\,\sin\left(x\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(\ln\left(x\right)\right)$$f'(x) = \frac{1}{x\,\ln\left(x\right)}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sin\left(x^{2} + 3\,x\right)^{2}$$f'(x) = 2\,\sin\left(x^{2} + 3\,x\right)\,\cos\left(x^{2} + 3\,x\right)\,\left(2\,x + 3\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$$f'(x) = -x\,\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$f'(x) = \frac{x}{\left(1 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \cos\left(\sqrt{x}\right)$$f'(x) = -\frac{\sin\left(\sqrt{x}\right)}{2\,\sqrt{x}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \ln\left(x^{2} + \mathrm{e}^{x}\right)$$f'(x) = \frac{2\,x + \mathrm{e}^{x}}{x^{2} + \mathrm{e}^{x}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{3}$$f'(x) = 3\,\left(\mathrm{e}^{x} + 1\right)^{2}\,\mathrm{e}^{x}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sqrt{\ln\left(x\right)}$$f'(x) = \frac{1}{2\,x\,\sqrt{\ln\left(x\right)}}$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \sin\left(\cos\left(x^{2}\right)\right)$$f'(x) = -2\,x\,\cos\left(\cos\left(x^{2}\right)\right)\,\sin\left(x^{2}\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
- $f(x) = \mathrm{e}^{\left(2\,x + 1\right)^{2}}$$f'(x) = 4\,\mathrm{e}^{\left(2\,x + 1\right)^{2}}\,\left(2\,x + 1\right)$Lösungsweg Schritt für Schritt →
⚠️ Typische Fehler
- Die innere Ableitung nicht vergessen: (sin(3x))' = 3·cos(3x), nicht cos(3x).
- Die innere Funktion bleibt in der äußeren Ableitung stehen: ((2x+1)³)' = 3(2x+1)²·2.
- Bei mehreren Ebenen von außen nach innen arbeiten und alle inneren Ableitungen multiplizieren.
- (sin x)³ und sin(x³) sind verschiedene Funktionen – genau hinschauen, was innen steht.
🖨️ Arbeitsblatt zum Ausdrucken
Alle Aufgaben dieser Seite gibt es als PDF mit Lösungsblatt. Neben jeder Aufgabe steht ihr Formel-Code – damit holst du die Aufgabe ohne Abtippen in den Rechner und kannst deine Lösung prüfen.